3.1 Le modèle de Den Hartog

Simulations du modèle de Den Hartog

On simule numériquement la solution de l’équation du modèle de Den Hartog avec le schéma suivant (voir cours 2):

\[ \boxed {m\displaystyle \frac{z^{n+1}\hskip-0.56905511811pt-\hskip-0.56905511811pt2z^ n\hskip-0.56905511811pt+\hskip-0.56905511811ptz^{n-1}}{\Delta t^2}\hskip-0.56905511811pt+\hskip-0.56905511811ptkz^ n\hskip-0.56905511811pt=\hskip-0.56905511811ptf(\displaystyle \frac{z^ n\hskip-0.56905511811pt-\hskip-0.56905511811ptz^{n-1}}{\Delta t}),z^0\hskip-0.56905511811pt=\hskip-0.56905511811ptz_0,z^1\hskip-0.56905511811pt=\hskip-0.56905511811ptz^0\hskip-0.56905511811pt+\hskip-0.56905511811pt\Delta t z_1.} \]

En posant :

\[ f(\dot z)=\frac{\varrho S \vert \vert V_ a\vert \vert ^2}{2}[c_ z(\alpha _ a)\cos (\alpha _ a-\alpha _0)+c_ x(\alpha _ a)\sin (\alpha _ a-\alpha _0)], \]

on obtient les trajectoires ci-dessous. Voici le programme: python , matlab

\includegraphics[width=5cm,height=3.5cm]{aeroimages/image6-30} \includegraphics[width=5cm,height=3.5cm]{aeroimages/image6-31}

A gauche ($\alpha _0=.2 rd$) stable , à droite ($\alpha _0=.7rd$) cycle limite