Questionnaire à choix multiples du cours 4  

  • Soit $u$ solution de $-\Delta u=1\hbox{ sur }\Omega ,\; u=0\hbox{ sur }\Gamma =\partial \Omega $. Que peut-on dire (faire la preuve)?

    1. $u\leq 0$
    2. $-1\leq u\leq 1$
    3. $u\geq 0$.

  • Soit $\Omega $ l’intérieur d’un cercle de rayon $R$. On introduit $u$ solution de $-\Delta u=1\; u=0\hbox{ sur }\Gamma $. On rappelle qu’en coordonnées polaires $(r,\theta )$ on a: $\Delta u=\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}(r\frac{\partial u}{\partial r})+\frac{1}{r^2}\frac{\partial ^2u}{\partial \theta ^2}.$ Laquelle de ces affirmations est vraie?

    1. $u=(R^2-r^2)/4$
    2. $u=-Log(r/R)$
    3. $u=-rLog(r/R)$ .

  • Soit $(\lambda \in \a R,u\in H^1_0(\Omega ))$ une solution de $\lambda u=-\Delta u\hbox{ sur }\Omega \; u=0\hbox{ sur }\Gamma $ et $\Omega =]0,L[\times ]0,l[$. Pour quelle relation entre $L$ et $l$ a-t-on plusieurs solutions $u$ pour un $\lambda $ donné?

    1. impossible
    2. $\exists $ plusieurs solutions à: $n,m\in \a N^*,\; \frac{m^2}{L^2}+\frac{n^2}{l^2}=\frac{\lambda }{\pi ^2}$
    3. toujours vrai

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