Questionnaire à choix multiples du cours 6  

  • On considère un ouvert $\Omega $ du plan et un carré de côté $L_1$ le contenant ainsi qu’un autre de côté $L_2$ qui lui est intérieur. Comment peut-on encadrer la valeur propre fondamentale d’une membrane occupant $\Omega $ fixée sur $\partial \Omega $?

    1. $(\frac{c\pi }{L_1})^2\leq \lambda _1\leq (\frac{c\pi }{L_2})^2$
    2. $(\frac{c\pi }{L_2})^2\leq \lambda _1\leq (\frac{c\pi }{L_1})^2$
    3. $(\frac{c\pi }{L_1+L_2})^2\leq \lambda _1\leq (\frac{c\pi }{L_2-L_1})^2$.

  • Si on considère une membrane fixée sur sa frontière rectangulaire de côtés $L$ et $L/2$. Quelles sont les premières valeurs propres multiples (les vp sont: $(c\pi )^2[(n/L)^2+(2m/L)^2]$?

    1. $ n=2,m=1$ et $n=1,m=4$
    2. $n=1,m=1$ et $n=2,m=1$
    3. $n=0,m=1$ et $n=2,m=0$.

  • On a un tambour Bèlè carré de côté $L$. Le pied du musicien est assimilé à un petit carré de côté $aL, \; a<<1$. Peut-on trouver une position du pied qui laisse au moins une valeur propre invariante?

    1. Non jamais.
    2. Oui si $a$ est un réel non rationnel (transcendant).
    3. Oui si $a$ est un rationnel.

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