2.3 Régularisation instantanée de la température

Régularisation parabolique

On se place pour simplifier dans le cas où $r=0$. Le modèle admet une solution même si la donnée initiale est irrégulière (par exemple $L^2(]0,L[)$ mais $\notin {\cal C}^0([0,L])$). Le point nouveau est le résultat remarquable suivant:

Théorème

Soit $T$ la solution du modèle thermique considéré dans ce cours 1. Alors pour tout $t{>}0$ cette solution est ${\cal C}^\infty ([0,L])$. On a aussi la régularité en $t$ mais sur $[t_0,\infty [$ où $t_0{>}0$ Ouvrir/fermer la video.

 
 
Remarque :
Cet effet très surprenant a priori est une propriété des problèmes paraboliques. D’un point de vue physique elle s’interprète par un adoucissement instantané des chocs thermiques qui ne disparat que dans la prise en compte d’un effet de convection (transport).