Cours 10: Résolution numérique de l’équation de la chaleur: Utilisation de la MEF

Cours 10: Résolution numérique de l’équation de la chaleur : Discrétisation en espace : Utilisation de la MEF

1.1 Utilisation de la MEF

Le problème approché en espace

Notons $V^ h$ un espace de dimension finie engendré par une MEF basée sur un maillage de l’ouvert $\Omega $. Les fonctions de base de $V^ h$ sont notées $w_ i,i=1,N$. Le problème de thermique semi-approché consiste à trouver $T^ h\in V^ h$ t.q. (on reprend les notations du cours 9 et $\pi $ et l’opérateur d’interpolation de Lagrange introduit au cours 8):

\[ \boxed {\begin{array}{l}\forall v\in V^ h,m(\displaystyle \frac{\partial T^ h}{\partial t},v)+Ub(T^ h,v)+a(T^ h,v)=l(v),\\ T^ h(x,0)\in V^ h,\forall v\in V^ h,T^ h(x,0)=\pi T_0.\end{array}} \]

Il s’agit d’un système différentiel matriciel que nous notons:

\[ \boxed {\begin{array}{l}M\displaystyle \frac{\partial \alpha }{\partial t}+B\alpha +A\alpha =R,T^ h(x,t)=\displaystyle \sum _{i=1,N}\alpha _ i(t)w_ i(x),\\ \alpha =\{ \alpha _ i\} ,\alpha _ i(0)=\pi T^ h(x_ i,0)\hbox{ o\` u }x_ i \hbox{ est le point de }\Omega \hbox{ o\` u }w_ i(x_ i)=1\end{array}} \]

Dans la suite nous faisons $U=0$ pour alléger les notations. Le lecteur adaptera les résultats sans difficulté lorsque $U\neq 0$.