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Cours 10: Résolution numérique de l’équation de la chaleur |  |
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3.2 Estimation de l’erreur en temps
Estimation de l’erreur en temps
On introduit les variables d’écart entre la solution obtenue par la discrétisation totale et celle du modèle approché par la MEF:
\[ \delta ^ h_ n=T^ h(n\Delta t)-T^ h_ n\overbrace{(=T^ h(n)-T^ h_ n)}^{\hbox{ notations de l'écran 9}} \]et on remarque que:
\[ m(\displaystyle \frac{\delta ^ h_{n+1}-\delta ^ h_ n}{\Delta t},v)+a(\theta \delta ^ h_{n+1}+(1-\theta )\delta ^ h_ n,v)=O(\Delta t^ p)(v). \]Posant: $v=\delta _ n+\delta _{n+1}$ on obtient:
\[ \hskip-5.6905511811ptm(\delta ^ h_{n+1},\delta ^ h_{n+1})-m(\delta ^ h_ n,\delta ^ h_ n)+a(\theta \delta ^ h_ n+(1-\theta )\delta ^ h_{n+1},\delta ^ h_{n+1}+\delta ^ h_ n)\hskip-2.84527559055pt=\hskip-2.84527559055ptO(\Delta t^ p)(\delta ^ h_{n+1}+\delta ^ h_ n). \]Un calcul nous conduit à l’estimation d’erreur suivante :
Ouvrir/fermer la video.
\[ \boxed {\vert \vert T^ h_ n-T^ h(n\Delta t)\vert \vert _{0,2,\Omega }^2+\Delta t\displaystyle \sum _{n=0,N_ t}\vert \vert T^ h_ n-T^ h(n\Delta t)\vert \vert _{1,2,\Omega }^2\leq c\Delta t^{2p},} \]où $c$ est une constante. L’erreur totale est obtenue grâce à: $\vert \vert T(n\Delta t)-T^ h_ n\vert \vert _{0,2,\Omega }\leq \vert \vert T(n\Delta t)-T^ h(n)\vert \vert _{0,2,\Omega }+\vert \vert T^ h(n)-T^ h_ n\vert \vert _{0,2,\Omega }.$
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