Cours 11: Les équations d’ondes : Unicité quand $U=0$

2 Unicité quand $U=0$

Cas où $U=0$, (unicité)

Lorsqu’il n’y a pas d’écoulement, le modèle acoustique se réduit à:

\[ \boxed {\begin{array}{l}\displaystyle \frac{\partial ^2 \varphi }{\partial t^2}-c^2\Delta \varphi =0,\hbox{ dans }\Omega , \displaystyle \frac{\partial \varphi }{\partial \nu }\hskip-2.84527559055pt=\hskip-2.84527559055pt0\hbox{ ou }\varphi =0\hbox{ sur }\Gamma _ e\cup \Gamma _ s,\\ \displaystyle \frac{\partial \varphi }{\partial \nu }\hskip-2.84527559055pt=\hskip-2.84527559055pt0\hbox{ sur }\Gamma _0,\hbox{(parois)}, \varphi (x,0)\hskip-2.84527559055pt=\hskip-2.84527559055pt\varphi _0(x)\hbox{ et }\displaystyle \frac{\partial \varphi }{\partial t}(x,0)\hskip-2.84527559055pt=\hskip-2.84527559055pt\varphi _1(x) \hbox{ dans }\Omega .\end{array}} \]

$\varphi =0$ (resp. $\displaystyle \frac{\partial \varphi }{\partial \nu }=0$) est une paroi absorbante (resp. réfléchissante).
L’unicité d’une solution régulière se montre en faisant la différence de deux solutions notée $\overline{\varphi }$ et qui vérifie (déjà vu):

\[ \boxed {\displaystyle \frac{d}{dt}[\displaystyle \frac{1}{2}\displaystyle \int _\Omega \vert \dot{\overline{\varphi }}\vert ^2+\displaystyle \frac{c^2}{2}\displaystyle \int _\Omega \vert \nabla \overline{\varphi }\vert ^2]=0,} \]

ce qui, compte tenu de la condition initiale homogène, permet d’assurer que $\overline{\varphi }=0$.