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Cours 12: Approximation numérique des équations d’ondes |  |
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2.5 Stabilité
Stabilité
Cherchons des solutions sous la forme:
\[ \boxed {\alpha _ n=qr^ n,} \]ce qui conduit à l’équation caractéristique des différents schémas:
\[ \boxed {\begin{array}{l}\hbox{schéma 1: }(1+\displaystyle \frac{\lambda \Delta t^2}{2})r^2+r(\displaystyle \frac{\lambda \Delta t^2}{2}-2)+1=0,\\ \hbox{schéma 2: }(1+\displaystyle \frac{\lambda \Delta t^2}{2})r^2-2r+(1+\displaystyle \frac{\lambda \Delta t^2}{2})=0,\\ \hbox{schéma 3: } r^2+r(\lambda \Delta t^2-2)+1=0.\end{array}} \]On obtient ainsi les conditions de stabilité:
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\[ \boxed {\hbox{S1: } \sqrt {\lambda } \Delta t\leq \frac{16+4\sqrt {76}}{3} \hbox{S2: Incond. stable;}\hbox{ S3: } \sqrt {\lambda } \Delta t{<} 2.} \]Attention la troisième inégalité est stricte, car en cas de racine double de l’équation caractéristique le schéma est instable!
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