1.3 Résolution analytique

Résolution par séparation des variables

Par séparation des variables on cherche des solutions sous la forme:

\[ u(x,t)=f(t)g(x). \]

On obtient les conditions nécessaires:

Pour $f$ : \[ f”+c^2a^2f=0 \] où $a$ est une constante indéterminée (complexe éventuellement?)

Pour $g$ : \[ g”+a^2g=0 \] et les conditions aux limites: \[ g(0)=g(L)=0. \]

Un calcul standard conduit à:\[ f(t)=A \cos (cat)+B\sin (cat),\hbox{et}g(x)=C\cos (ax)+D\sin (ax). \] En appliquant à $g$ les conditions limites, nous obtenons finalement:

\[ \boxed {u_{n}(x,t)=\sin (\displaystyle \frac{n\pi x}{L})[E_ n\cos (\displaystyle \frac{nc\pi t}{L})+F_ n\sin (\displaystyle \frac{nc\pi t}{L})];a=\displaystyle \frac{n\pi }{L}.} \]

suite du calcul...

Les solutions précédentes dépendent chacune de deux constantes $E_ n$ et $F_ n$. On recherche une combinaison qui satisfassent les conditions initiales ($t=0$). Pour cela, on doit trouver $E_ n$ et $F_ n$ tels que:

\[ \boxed {\begin{array}{l} \displaystyle \sum _{n\geq 1}E_ n\sin (\displaystyle \frac{n\pi x}{L})=u_0(x),\\ \hbox{et}\\ \displaystyle \sum _{n\geq 1}\displaystyle \frac{nc\pi }{L} F_ n\sin (\displaystyle \frac{n\pi x}{L})=u_1(x).\end{array}} \]

La théorie des séries de J. Fourier , nous apporte la réponse:

Ouvrir/fermer.

\[ \boxed {\begin{array}{l} E_ n=\displaystyle \frac{2}{L}\displaystyle \int _0^ Lu_0(x)\sin (\displaystyle \frac{n\pi x}{L})dx,\\ F_ n=\displaystyle \frac{2}{n\pi c}\displaystyle \int _0^ Lu_1(x)\sin (\displaystyle \frac{n\pi x}{L})dx.\end{array}} \]