1.3 Résolution analytique

Tentative de résolution par séparation des variables

On cherche des solutions sous la forme: $u(x,t)=f(t)g(x).$ Soit:

Pour $f$ : \[ f”+Da^4f=0 \] où $a$ est une constante indéterminée (complexe)

Pour $g$ : \[ g^{(4)}-a^4g=0 \] et les conditions aux limites: \[ g(0)=\displaystyle \frac{\partial g}{\partial x}(0)=g(L)=\displaystyle \frac{\partial g}{\partial x}(L)=0. \]

D’où:\[ \boxed {\begin{array}{l}f(t)=A \cos (\sqrt {D}a^2t)+B\sin (\sqrt {D}a^2t),\\ g(x)=C\cos (ax)+D\sin (ax)+E\cosh (ax)+F\sinh (ax).\end{array}} \] En appliquant les conditions aux limites, nous obtenons que $a$ doit être solution de (exercice):

\[ \boxed {\cos (aL)\cosh (aL)=1} \]

suite du calcul...

On peut résoudre graphiquement cette équation qui admet une infinité dénombrable de solutions notées $a_ n,n\in {\mathbb N}$.

 

Lorsque $n\rightarrow \infty $ les solutions sont proches de ${(2n+1)\pi }/{2L}$.
Les solutions élémentaires pour les fonctions $g$ sont:

\[ \boxed {\begin{array}{l}w_ n(x,t)=K_ n[\cos (a_ nL)-\cosh (a_ nL))(\cos (a_ nx)-\cosh (a_ nx)]\\ \hskip85.3582677165pt+(\sin (a_ nL)+\sinh (a_ nL))(\sin (a_ nx)-\sinh (a_ nx))],\\ K_ n\hbox{ est calculé de fa\c con \` a ce que: }\displaystyle \int _0^ L\vert w_ n\vert ^2dx=1.\end{array}} \]

On a (exercice en utilisant l’équation vérifiée par $w_ n$):

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\[ \displaystyle \int _0^ Lw_{n_1}(x)w_{n_2}(x)dx=\delta _{n_1n_2}, \hbox{(symbole de Kronecker)}. \]

Ceci prouve que les fonctions $w_ n$ sont linéairement indépendantes. Reste à savoir si elles forment une famille génératrice pour faire la synthèse des conditions initiales et du second membre.

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