Cours 4: Modèles simples en 2D: Un modèle

Cours 4: Modèles simples en 2D : Membrane : Un modèle

1.1 Un modèle

Le tambour

Membane liquide :

$\includegraphics[width=3.2cm]{aimages/image4-2.png}$

Nous supposons que nous avons une membrane tendue homogène. Elle occupe un ouvert $\Omega $ du plan.

On note $u(x,t)$ le déplacement transverse du point $x=(x_1,x_2)$ à l’instant $t$; $c$ est la vitesse d’onde ; $u_0,u_1$ et $f$ sont des fonctions données.

\[ \boxed {\begin{array}{l}\displaystyle \frac{\partial ^2 u}{\partial t^2}-c^2\Delta u=fx\in \Omega \subset {\mathbb R}^2,\forall t{>}0,\\ u(0,t)=0,\: \hbox{ sur }\Gamma =\partial \Omega , \\ u(x,0)=u_0(x),\displaystyle \frac{\partial u}{\partial t}(x,0)=u_1(x)\hbox{ dans }\Omega .\end{array}} \]

$\Delta $ est le laplacien: $\Delta u=\displaystyle \sum _{i=1,2}\displaystyle \frac{\partial ^2u}{\partial x_ i^2}=\hbox{div(grad({\it u}))}$