Cours 8: Propriétés d’une MEF : Retour à l’estimation a priori de J. Cea

4 Retour à l’estimation a priori de J. Cea

Retour à l’estimation a priori de J. Cea

Théorème l’estimation a priori de J. Cea

Soit un espace de Hilbert $V\subset H^1(\Omega )$ et $u\in V$ la solution de:

\[ \forall v\in V,a(u,v)={\cal E}(v) \]

où $a(.,.)$ et ${\cal E}$ vérifie bien toutes les hypothèses du théorème de Lax-Milgram (voir cours 5). Notons $u^ h\in V^ h$ la solution du problème approché avec $V^ h\subset V$. Nous avons alors:

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\[ \vert \vert u-u^ h\vert \vert _ V\leq \displaystyle \frac{M}{\alpha }\inf _{v\in V^ h}\vert \vert u-v\vert \vert _ V. \]

Ceci permet de déduire en utilisant les résultats de l’interpolation:

Théorème estimation d’erreur

(hypothèses des théorèmes précédents).

\[ \exists c{>}0,\hbox{ indépendante de } h\hbox{ et de } u \hbox{ telle que: }\vert \vert u-u^ h\vert \vert _{V}\leq ch\vert u\vert _{2,2,\Omega }. \]