TP1 - Partie 1 - Aides : 2. 1 - Contribution d’un segment pour K

TP1 - Partie 1 - Aides : Etape 2 : construction de K : 2. 1 - Contribution d’un segment pour K

2. 1 - Contribution d’un segment pour K

On construit la matrice $K$ sans tenir compte des CL

(les CL seront pris en compte par la suite) :

$\includegraphics[width=3.2cm,height=1.1cm]{./images1/segi.png}$

$i,j=0,n_ h+1,\quad K_{i,j}=\displaystyle \int _0^ Lk_ c \dfrac {dw_ j }{dx}\, \dfrac {dw_ i}{dx} \, dx$

Contribution du segment i, ${\color{mycolor}[x_ i,x_{i+1}] }$ , à ${\color{mycolor}K=(K_{ij})}$

seules les fonctions $w_ i$ et $w_{i+1}$ ne sont pas nulles sur $[x_ i,x_{i+1}]$ :

$\Rightarrow$ 4 contributions : $\displaystyle \int _{x_{i}}^{x_{i+1}}k_ c \dfrac {dw_ j }{dx}\, \dfrac {dw_ k}{dx} \, dx$ pour $k,j=i,i+1$ ;

notons $k_ c^{(i)}=\left\{ \begin{array}{ll} k_{c_1}& \mbox{si }x_{i+1}<\frac{L}{2}\\ k_{c_2}& \mbox{sinon} \end{array} \right.$ , on obtient les contributions:

$c^{(i)}_{1,1}=c^{(i)}_{2,2}=\dfrac {k_ c^{(i)}}{h_{i}}$ (à $K_{i,i}$ et $K_{i+1,i+1}$ ), $c^{(i)}_{1,2}=c^{(i)}_{2,1}=-\dfrac {k_ c^{(i)}}{h_{i}}$ (à $K_{i,i+1}$ et $K_{i+1,i}$ ),

la matrice élémentaire associée à $[x_ i,x_{i+1}]$ est $c^{(i)}=\dfrac {k_ c^{(i)}}{h_{i}}\left( \begin{array}{cc}1& -1\\ -1& 1 \end{array} \right)$ .