TP1 - Partie 1 - Aides : 3. 1 - Influence des CL de Dirichlet

TP1 - Partie 1 - Aides : Etape 3 : les CL de Dirichlet : 3. 1 - Influence des CL de Dirichlet

3. 1 - Influence des CL de Dirichlet

conditions de Dirichlet (CD) non homogènes (ou pas)

La matrice et le second membre du système $AX=F$ ont été construits sans tenir compte des valeurs de $X$ à imposer.

Nous détaillons le cas d’une CD en un seul point, on généralise facilement pour $ncl$ points.

Supposons que $X$ soit imposé en 1 seul sommet $id$ , soit $Up_{id}$ la valeur :

$\includegraphics[width=6cm]{./images1/cl1.png}$

$(AX)_ i= \displaystyle \sum _{j\ne id}a_{i,j}X_ j\; +{\color{cyan}a_{i,id}}{\color{magenta}X_{id}} = F_ i$

Sans changer les dimensions ni le rang (théoriquement) du système, il faut modifier $A$ et $F$ pour imposer la valeur de ${\color{magenta}X_{id}}$ .

Différentes techniques sont utilisées, nous ne parlerons ici que de trois d’entre elles ;

par transformations symétriques :
pour $i\ne id$ : $(AX)_ i= \displaystyle \sum _{j\ne id}a_{i,j}X_ j\; =F_{i}- {\color{cyan}a_{i,id}} \, Up_{id}$
$\triangleright$ on stocke la contribution de ${\color{magenta}X_{id}}$ aux composantes : $Y={\color{cyan}{A_{*,id}}}{\color{magenta}X_{id}}$ ( $A_{*,id}$ : la colonne $id$ de $A$ )
$\triangleright$ on modifie la ligne et la colonne $id$ de $A$ et $F_{id}$ ainsi :

$\includegraphics[width=8.2cm]{./images1/cl2.png}$

+ : modifie peu le conditionnement de $A$ , conserve la symétrie de $A$ .
- : modifications assez nombreuses dans la matrice $A$ .

par pénalisation (méthode tgv)
on ajoute à ${\color{cyan}a_{id,id}}$ une très grande valeur ( $tgv$ ) qui rend négligeable l’effet des autres termes de la ligne
et on impose ${\color{magenta}F_{id}=tgv*X_{id}}$ .
+ : une seule modification dans $A$ , conserve la symétrie de $A$ .
- : détériore le conditionnement de $A$ ,
par transformation d’une ligne on modifie la ligne $id$ de $A$ et $F_{id}$ :

$\left(\begin{array}{cccccc} 0& \ldots & 0& \color{cyan}{a_{id,id}}& 0 \ldots 0 \end{array}\right) \left(\begin{array}{c} \vdots \\ {\color{magenta}X_{id}}\\ \vdots \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} \vdots \\ F_{id-1} \\ {\color{magenta}a_{id,id}X_{id}}\\ F_{id+1} \\ \vdots \end{array}\right)$

Généralement, on modifie aussi ${\color{cyan}a_{id,id}}$ en ${\color{cyan}a_{id,id}}=1$ et $F_{id}=X_{id}$ .
+ : modifications moins nombreuses que la méthode 1,
pas de stockage de Y,
ne modifie pas trop le conditionnement de $A$ ,

- : ne conserve pas la symétrie de $A$ (si $A$ symétrique).