la modélisation

L’équation vérifiée par la température $T(x)$ dans le barreau de longueur $L$ est

$\color{blue}{(E)\quad :\quad -\dfrac {d }{dx}(\, k_ c(x) \dfrac {d T(x)}{dx}\, ) =0,\qquad 0<x < L}$

où $x$ est l’abscisse le long du barreau.
Les conditions aux limites (CL) sont

$\color{mycolor}{T(0)=T_ o\quad , \quad -(k_ c\dfrac {dT}{dx})(L) = q_ o}$

et pour conductivité thermique

$\color{mycolor}{k_ c(x)=\left\{ \begin{array}{ll}k_{c_1} & \mbox{pour } 0\le x <L/2 \\ k_{c_2} & \mbox{pour } L/2 < x \le L\end{array} \right.}$