TP2 : Chaleur 1D, avec source et conditions aux limites mixtes.: partie 2

TP2 : Chaleur 1D, avec source et conditions aux limites mixtes. : Les différentes parties du TP : partie 2

partie 2

Il s’agit de déterminer la répartition de la température $T$ d’un barreau cylindrique, métallique, parcouru par un courant électrique continu d’intensité $I$ ;
le barreau est constitué de 2 parties de conductivités thermiques et résistivités électriques différentes, en cuivre pour la partie de gauche et en plomb pour la partie de droite.

A l’intérieur du barreau, les échanges thermiques ont lieu par diffusion thermique et le contact entre les 2 parties du fil est supposé parfait (continuité de la température et du flux).
Le courant électrique crée, par effet joule, $f(x)=\rho _ e(x)\dfrac {I^2}{S}$ .
$\rho _ e$ , la résistivité électrique, $k_ c$ , la conductivité thermique et $S$ , l’aire de la section du barreau, sont supposées indépendantes de la température.

De plus

$\color{mycolor}{(k_ c(x),\rho _ e(x))=\left\{ \begin{array}{ll}(k_{c_1},\rho _{e1}) & \mbox{pour } 0\le x <L/2 \\ (k_{c_2},\rho _{e2}) & \mbox{pour } L/2 < x \le L\end{array} \right.}$

L’équation vérifiée par $T(x)$ dans le barreau de longueur $L$ est

$-\dfrac {d }{dx}(\, k_ c(x) \dfrac {d T(x)}{dx}\, ) =\rho _ e(x) \frac{I^2}{S^2} ,\qquad 0<x < L$

Les conditions aux limites (CL) sont $T(0)=T_ o\quad , \quad -(k_ c\dfrac {dT}{dx})(L) = q_ o$ ,

Résoudre le problème à l’aide des programmes développés dans les parties précédentes (le programme principal devant être adapté à l’application).

Prendre $L=10 m$ , $S=10^{-2} m^2$ , $I=50 \, A$ , $T_ o=275\, K$ , $q_ o=1 W$

avec

$k_{c_1}=400\, W.m^{-1}.K^{-1}$ et $\rho _{e1}=1.7\, 10^{-8}\, \Omega .m$ (cuivre),

$k_{c_2}=35\, W.m^{-1}.K^{-1}$ et $\rho _{e2}=20,7\, 10^{-8}\, \Omega .m$ (plomb),

$T$ est exprimée en Kelvin ( $K$ )

Visualisation de la température dans le barreau (légende à droite):

$\includegraphics[width=.8\textwidth ,height=.28\textheight ]{./TP2/prog-images/tp2appl-couleur.png}$ $\includegraphics[width=.8\textwidth ,height=.28\textheight ]{./TP2/prog-images/tp2appl-courbe.png}$