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TP3 - Aides : Etape 2 : schéma en temps : 2. 1 -  Formes approchée et matricielle

2. 1 -  Formes approchée et matricielle

Approcher les termes en temps par un schéma de Wilson :   

  \[ \left\{ \begin{array}{l}T(t_ n) \simeq \theta T(t_{n+1})+ (1-\theta )T(t_ n),\quad \mbox{avec } 0 \le \theta \le 1\\[1ex] \frac{\partial T}{\partial t}(t_ n) \simeq \dfrac {1}{\Delta t}(T(t_{n+1})-T(t_ n)),\quad \mbox{avec } \Delta t=t_{n+1}-t_ n \end{array} \right. \]    

on approche $T(t_ n)$ et $\frac{\partial T}{\partial t}(t_ n)$à l’aide de ce schéma dans l’équation
  \[ \rho c_ vM \dfrac {\partial T}{\partial t}(t_ n) +KT(t_ n)\simeq \, Fc \]    
on obtient, en regroupant les terme en $t_ n$, ceux en $t_{n+1}$ et en * par $\Delta t$ : $[\rho c_ vM +\Delta t \theta K] T(t_{n+1}) - [\rho c_ vM-\Delta t (1-\theta ) K] T(t_ n)\simeq \, \Delta t \, Fc $

Ecrire l’équation récurrente matricielle vérifiée par $\color{mycolor}{T^{n+1}}$ :   

on note :

  \[ A=\rho c_ vM +\Delta t \theta K\quad , \quad B=\rho c_ vM-\Delta t (1-\theta ) K=A-\Delta t\, K \]    

et on approche $T(t_{n+1})$ par $T^{n+1}$, solution de $A T^{n+1}=\, \Delta t Fc +B T^ n$

On obtient donc la suite récurrente définie par :

$T^0=(T_ o(x_ i))_ I,\qquad A T^{n+1}=\, \Delta t F +B T^ n,\quad n\ge 0$

fin de l’aide sur l’étape 1    

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