TP3 : Chaleur 1D instationnaire avec conditions aux limites mixtes. : Le TP

Le TP

On cherche à déterminer l’évolution de la chaleur $T$ à l’aide d’une méthode d’éléments finis.

Pour ce faire, nous allons compléter le code d’éléments finis du TP2 pour prendre en compte l’évolution en temps.

On procède par étapes pour construire, au fur et à mesure, un code (sous Scilab) d’éléments finis de Lagrange ${\color{mycolor}P_1}$ instationnaire.

On considère le problème de l’équation de la chaleur instationnaire avec des conditions aux limites (CL) et une source indépendantes de $t$ .

Les étapes de ce TP sont décrites ci-après, les visualisations finales présentées.
Une aide détaillée est proposée.

Ecrire $(E_4)$ et les CL sous forme variationelle et approcher par MEF (Lagrange P1),
approcher les termes en temps par un schéma de Wilson :

$\color{myred} \left\{ \begin{array}{l}T(x,t_ n) \simeq \theta T(x,t_{n+1})+ (1-\theta )T(x,t_ n),\quad \mbox{avec } 0 \le \theta \le 1\\[1ex] \dfrac {\partial T}{\partial t}(x,t_ n) \simeq \dfrac {1}{\Delta t}(T(x,t_{n+1})-T(x,t_ n)),\quad \mbox{avec } \Delta t=t_{n+1}-t_ n \end{array} \right.$

et mettre sous forme matricielle $A \, T^{n+1}=F(t_ n)$ ,
modifier le sous-programme de résolution pour prendre en compte l’évolution en temps,
écrire le programme principal pour $x_ j=(j-1)h$ avec $h=\frac{L}{nx-1}$ , $L=2, \; nx=21,\; k_{c}=1,\; \rho c_ v=1, \; T(0)=0$ et $q_ o=1$ avec $r(x)=0$ et $T_ o(x)=\left\{ \begin{array}{ll}0& \mbox{si } 0<x<L/2\\ 6& \mbox{si } L/2 \le x < L\end{array} \right.$ .
Tracer les résultats en 3D et en 2D dynamique Faire varier $nx$ . Choisir différents $\theta$ et faire varier le pas de temps $\Delta t$ . Retrouver les propriétés du schéma. Comparer la solution finale obtenue avec la solution statique.