TP4 - Aides : 4. 5 - Comparaison

TP4 - Aides : Etape 4 : p. principal : 4. 5 - Comparaison

4. 5 - Comparaison

Comparer la solution approchée avec la solution analytique

Rappelons (cf.cours 2 page 12) que, dans le cas de la propagation sur une corde infinie, pour un déplacement initial $u_{to}(x)$ et une vitesse initiale nulle, le déplacement exact $u_{ex}(x,t)$ des points est donné par

$\color{blue} u_{ex}(x,t)=\frac{1}{2} \, (\, u_{to}(x-c\, t)\, +\, u_{to}(x+c\, t)\, )$

Pour notre corde fixée aux extrémités, cette formule est valable

- pour des temps pour lesquels l’onde n’atteint pas les bords,

- et en considérant nulles les ondes entrantes : $u_{to}(x-c\, t)=0$ si $x-c\, t<0$ et $u_{to}(x+c\, t)=0$ si $x+c\, t>L$ .

On peut donc comparer la solution approchés et la solution exacte. Nous le ferons graphiquement toutes les 20 itérations en modifiant les lignes du "Tracer au cours du temps" :
- en calculant $u_{ex}(x,n\Delta t)$ (stocké dans $uex$ ) dans la boucle sur $n$ et
- en traçant les 2 courbes par plot(x,U(:,n), ’b’ x,uex,’r’)

Tester ce programme en prenant $nx=100*L+1$ , $dt=0.005$ et $nt=200$ et $\theta =0.5$ .
Tous les 30 pas de temps, tracés de la solution calculée et de la solution analytique dans la figure de gauche, tracé de leur différence dans la figure de droite :

$\includegraphics[width=9cm,height=2cm]{./prog-images/test200courbe.png}$

Tracé 3D

$\includegraphics[width=9cm,height=2.5cm]{./prog-images/test200nappe.png}$

Choisir différents $\theta$ et retrouver les propriétés du $\theta$ -schéma :

pour les mêmes données que précédemment mais avec des $\theta$ différents :

$\theta =1$	$\theta =0.45$
$\includegraphics[width=4.8cm,height=2.5cm]{./prog-images/courbeL4c1a100dt005nt200te1.png}$	$\includegraphics[width=4.8cm,height=2.5cm]{./prog-images/courbeL4c1a100dt005nt200te45.png}$
$\includegraphics[width=4.8cm,height=3cm]{./prog-images/nappeL4c1a100dt005nt200te1.png}$	$\includegraphics[width=4.8cm,height=3cm]{./prog-images/nappeL4c1a100dt005nt200te45.png}$

Faire varier $\Delta t$ (pour $\theta =0.5$ ) et observer que pour $\frac{c\Delta t}{h}>1$ , la solution approchée s’éloigne de la solution exacte.

$h=0.01$ et $c\Delta t=0.01$	$h=0.01$ et $c\Delta t=0.02$
$\includegraphics[width=4.8cm,height=2.5cm]{./prog-images/courbeL4c1a100dt01nt100te05.png}$	$\includegraphics[width=4.8cm,height=2.5cm]{./prog-images/courbeL4c1a100dt02nt50te05.png}$
$\includegraphics[width=4.8cm,height=3cm]{./prog-images/nappeL4c1a100dt01nt100te05.png}$	$\includegraphics[width=4.8cm,height=3cm]{./prog-images/nappeL4c1a100dt02nt50te05.png}$

fin de l’aide sur l’étape 4 $\to$ les étapes

fin de l’aide du TP 4.