TP4 - Aides : les étapes

les étapes

$\color{mycolor}(E_{5})\; :\; \left\{ \begin{array}{l}\dfrac {\partial ^2 u}{\partial t^2}(x,t)-c^2\dfrac {\partial ^2u }{\partial x^2}(x,t)=f (x),\quad 0<x<L,\; \forall t\in ]0,T_ f] \\[2ex] u(0,t)=u_ o ,\quad u(L,t)=u_ L, \quad u(x,0)=u_{to}(x), \; \dfrac {\partial u}{\partial t}(x,0)=v_{to}(x) \end{array} \right.$

Ecrire $(E_5)$ et les CL sous forme variationelle et approcher par MEF, (CL : $u(0,t)=u_ o$ et $u(L,t)=u_ L$ ) (aide)
Approcher les termes en temps par le $\theta$ -schéma : avec $\Delta t=t_{n+1}-t_ n$ ,

$\color{myred} \left\{ \begin{array}{l}u(x,t_ n) \simeq \theta u(x,t_{n+1}) +(1- \theta ) u(x,t_{n-1}),\quad \mbox{avec } 0 \le \theta \le 1\\[1ex] \dfrac {\partial ^2 u}{\partial t^2}(x,t_ n) \simeq \dfrac {1}{\Delta t^2}(u(x,t_{n+1})-2u(x,t_ n)+u(x,t_{n-1})),\quad \forall n\ge 1\end{array} \right.$

et mettre sous forme matricielle récurrente ${\color{myred} A \, U^{n+1}=F(t_ n,t_{n-1})}$ (aide)
Modifier le sous-programme de résolution du TP3 pour prendre en compte ce schéma en temps (aide)
Ecrire le programme principal pour $L=4$ , $x_ j=(j-1)h$ avec $h=\frac{L}{nx-1}$ ,
$c=1, \; u_ o=u_ L=0$ , $f(x)=0$ , $u_{to}(x)=e^{-(50\frac{2x-L}{L})^2}$ et $v_{to}(x)=0$
pour différents $nx$ , $\Delta t$ et $\theta$ . Comparer avec la solution exacte (aide)