Cours 5: Quelques aspects fonctionnels: Quelques exemples

Cours 5: Quelques aspects fonctionnels : Les espaces liés à la théorie de l’intégration de Lebesgue : Quelques exemples

1.1 Quelques exemples

Espaces de Banach et de Hilbert

Les espaces $L^ p(\Omega )$ :

Soit $\Omega $ un ouvert de ${\mathbb R}^ n,n=1,2 ,3$ de frontière $\Gamma $.

On note $L^ p(\Omega ),p\geq 1,$ l’espace des fonctions mesurables (au sens de Lebesgue) sur $\Omega $ et telles que la fonction $\vert f\vert ^ p$ soit de mesure finie:

$\vert \vert f\vert \vert _{0,p,\Omega }=[\displaystyle \int _{\Omega }\vert f(x)\vert ^ p dx]^{1/p}$

Exemples usuels :

$\vert \vert f\vert \vert _{0,1,\Omega }=\displaystyle \int _{\Omega }\vert f(x)\vert dx$ (Banach)

$\vert \vert f\vert \vert _{0,2,\Omega }=[\displaystyle \int _{\Omega }\vert f(x)\vert ^2 dx]^{1/2}$ (Hilbert)

$\vert \vert f\vert \vert _{0,\infty ,\Omega }=\sup _{x\in \Omega }\vert f\vert (x)$ (Banach).

Pour $\Omega $ ouvert borné de ${\mathbb R}^ n$, on a l’inégalité de H$\ddot{\hbox{o}}$lder:

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\[ \boxed {\vert \vert f \vert \vert _{0,1,\Omega }\leq \vert \Omega \vert ^{1/q}\vert \vert f\vert \vert _{0,p,\Omega },\forall p,q\geq 1,\displaystyle \frac{1}{p}+\displaystyle \frac{1}{q}=1.} \]

En particulier:

\[ \boxed {\vert \vert f \vert \vert _{0,1,\Omega }\leq \sqrt {\vert \Omega \vert }\vert \vert f\vert \vert _{0,2,\Omega }}. \]