Cours 5: Quelques aspects fonctionnels: Le théorème de Lax-Milgram (sur ${\mathbb R}$)

Cours 5: Quelques aspects fonctionnels : Le théorème de Riesz : Le théorème de Lax-Milgram (sur ${\mathbb R}$)

4.1 Le théorème de Lax-Milgram (sur ${\mathbb R}$)

On va prolonger le théorème de Riesz

Théorème Le théorème de Lax-Milgram

Soit $V$ un espace de Hilbert, ${\cal E}$ une forme linéaire continue sur $V$ et $a(.,.)$ une forme bilinéaire continue sur $V$ vérifiant l’hypothèse suivante:

\[ \exists \alpha {>}0,\hbox{ telle que: }\forall v\in V, a(v,v)\geq \alpha \vert \vert v\vert \vert _ V^2. \]

Alors il existe une solution unique au problème suivant:

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\[ \hbox{ trouver }u\in V,\hbox{ tel que: }\forall v\in V,a(u,v)={\cal E}(v). \]

Remarque :
Il n’est pas requis que $a(.,.)$ soit symétrique. Par ailleurs en utilisant le théorème de Riesz on note: $E,Au\in V$ tels que $\forall v\in V:a(u,v)=((Au,v))$ et ${\cal E}(v)=((E,v))$. Le modèle variationnel est équivalent à: \[ Au=E. \]