1.4 Application des $\# $ et des $\flat $

Le tambour Bèlè simplifié

On considère une membrane tendue sur laquelle on impose une liaison scalaire sur l’ouvert ${\cal O}$. Le modèle de la membrane devient:

Le modèle perturbé : \[ \begin{array}{l}V_0=\{ v\in H^1_0(\Omega ),\displaystyle \int _{\cal O}v=0\} ,\\ (\lambda ,u)\in {\mathbb R}^{+*}\times V_0,\\ \displaystyle \int _{\Omega }u^2=1, \forall v\in V_0,\\ \lambda \displaystyle \int _{\Omega }uv=c^2\displaystyle \int _{\Omega }(\nabla u,\nabla v).\end{array} \] La question est de savoir comment évolue le spectre de la membrane versus ${\cal O}$?

L’exemple du tambour bèlè : C’est le talon du musicien qui fixe la membrane sur l’ouvert ${\cal O}$.

La réponse est donnée par le théorème des $\# $ et des $\flat $.

L’effet glissando sur un violon

Considérons une corde vibrante de longueur $L$ fixée à ses deux extrémités, dont la vitesse d’onde est notée $c$. Les valeurs et vecteurs propres de l’opérateur associé à cette corde sont (voir cours 2):

\[ \boxed {\lambda _ n=(\displaystyle \frac{n\pi c}{L})^2,w_ n(x)=\sqrt {\displaystyle \frac{2}{L}}\sin (\displaystyle \frac{n\pi x}{L}).} \]

On fixe la corde au point $x=a$. On obtient ainsi deux cordes disjointes dont les spectres intercalent exactement celui de la corde initiale, (théorème des $\# $ et des $\flat $). Ci-contre les trois premières valeurs propres de la corde pincée de longueur $L-a$ par rapport aux valeurs propres $\lambda _2,\lambda _3$ et $\lambda _4$ de la corde libre. [programme]