Cours 6: Eléments de la théorie spectrale des opérateurs elliptiques: Le décalage spectral

2.1 Le décalage spectral

Théorème L’ alternative de Fredholm

Soit ${\cal E}$ une forme linéaire continue sur $V$ et $\eta \in {\mathbb R}^{*+}$. Soit l’équation:

\[ u\in V,\forall v\in V, a(u,v)-\eta m(u,v) ={\cal E}(v). \]

Il y a alors deux possibilités ($\{ w_ i\} _{i=1,P}$ le sev de la vp $\lambda _ i$):

soit $\eta $ est une valeur propre du problème spectral de multiplicité $P$. L’équation admet alors une solution à un élément arbitraire près du sous-espace propre associé ssi ${\cal E}(w_ j)=0,\forall j=1,P$;
soit $\eta $ n’est pas valeur propre, il y a toujours une solution unique.

Théorème Théorème de Garding

Soit $a_0(.,.)$ une forme bilinéaire symétrique continue sur $V\subset H$ t.q.

\[ \exists \xi \geq 0,c{>}0, \forall v\in V:a(v,v)=a_0(v,v)+\xi \vert \vert v\vert \vert _ H^2\geq c\vert \vert v\vert \vert _ V^2. \]

Si $a_0(.,.)$ est définie ($\ker a_0=\{ 0\} $), alors, $\exists !u\in V$ tel que:

\[ \forall v,a_0(u,v)={\cal E}(v). \]