Cours 7: Introduction à la MEF: Les grandes lignes

Cours 7: Introduction à la MEF : Principe de la MEF : Les grandes lignes

1.1 Les grandes lignes

Les grands principes

Le problème le plus simple :

Il s’agit de trouver $u\in H^1_0(\Omega ),$ tel que:

\[ \left\{ \begin{array}{l}-\Delta u=f\hbox{ dans }\Omega ,\\ u=0\hbox{ sur }\Gamma =\partial \Omega .\end{array}\right. \]

Formulation variationnelle :

$u \in V=H^1_0(\Omega ),$ tel que:

$\forall v\in V$,

$\hskip14.2263779528pt\displaystyle \int _\Omega (\nabla u,\nabla v)=\displaystyle \int _\Omega fv.$

La méthode de Galerkin engendrée par la MEF :

On construit par la MEF un sous-espace $V^ h$ de dimension $N$ finie de $V$ dont on sait expliciter une base notée $\{ w_ i\} $. Cela va se faire à l’aide de deux concepts: le maillage géométrique et un ou plusieurs élement(s) fini(s). Le problème approché consiste alors à trouver $u^ h\in V^ h\subset V$ tq:

\[ \boxed {\forall v\in V^ h,a(u^ h,v)=\displaystyle \int _\Omega (\nabla u^ h,\nabla v)=\displaystyle \int _\Omega fv.={\cal E}(v).} \]

Le problème matriciel associé

On pose:

\[ \boxed {\begin{array}{l}a_{ij}=a(w_ i,w_ j)\overbrace{=\displaystyle \int _\Omega (\nabla w_ i,\nabla w_ j)}^{\hbox{ pour l'exemple précédent}},A=\{ a_{ij}\} \in {\cal M}({\mathbb R}^ N,{\mathbb R}^ N),\\ u^ h=\displaystyle \sum _{i=1,N}\alpha _ iw_ i\in V^ h,b_ i={\cal E}(w_ i)\overbrace{=\displaystyle \int _\Omega f w_ i}^{\hbox{ pour l'exemple précédent}},b=\{ b_ i\} ,\alpha =\{ \alpha _ i\} \in {\mathbb R}^ N,\end{array}} \]

et le problème approché consiste à résoudre ($A$ est symétrique):

\[ \boxed {A\alpha =b} \]

La matrice $A$ est symétrique et définie strictement positive car la forme bilinéaire $a(.,.)$ est $V-$coercive (voir cours 4). Le problème ci-dessus est donc équivalent au suivant:

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\[ \boxed {\min _{\beta \in {\mathbb R}^ N}\displaystyle \frac{1}{2}(A\beta ,\beta )_ N-(b,\beta )_ N.} \]