Questionnaire On s’intéresse au contrôle du système suivant ($\xi >0$ et $u$ est le contrôle):

  \[ \ddot z+\xi \dot z(1-z^2)+z=u,\; z(0)=z_0,\; \dot z(0)=z_1. \]    

On vérifiera au préalable que: $\forall X>0=>X^4-X^2+1>0$.

  • On considère le contrôle: $u(t)=-\xi \hbox{signe}(\dot z)$ et en supposant que $z(0)^2+\dot z(0)^2<2$, que peut-on affirmer:

    1. La solution reste dans le cercle de rayon $\sqrt {2}$
    2. Le système explose en temps fini
    3. Le système explose en temps infini.

  • Il existe un cycle limite dans le cercle de rayon $R$ si:

    1. Jamais
    2. $R\leq 9$
    3. $R\leq \sqrt {2}$.

  • Si $\dot z(0)^2+z(0)^2=R^2$, la solution tend vers l’origine si:

    1. $R=9$
    2. $R\leq 9$
    3. $R<\sqrt {2} $

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