Questionnaire

Soit le sytème à 2 DDL ($z$ pour le pilonnement et $\alpha $ le tangage, $0\leq a<1$) que l’on souhaite contrôler en un temps $T$ à l’aide de $u(t)\in L^2(]0,T[)$:

  \[ \left(\begin{array}{l}\begin{array}{cc}1& a\end{array}\\ \begin{array}{cc}a& 1\end{array}\end{array}\right)\ddot X^\varepsilon +\left(\begin{array}{l}\begin{array}{cc}D_1& 0\end{array}\\ \begin{array}{cc}0& D_2\end{array}\end{array}\right)\dot X^\varepsilon +\left(\begin{array}{l}\begin{array}{cc}1& 0\end{array}\\ \begin{array}{cc}0& 1\end{array}\end{array}\right)X^\varepsilon =u^\varepsilon \left(\begin{array}{l}0\\ 1\end{array}\right). \]    

L’équation d’optimalité est $p^\varepsilon _2+\varepsilon u^\varepsilon =0$, où $P^\varepsilon =(p^\varepsilon _1,p^\varepsilon _2)$ est l’état adjoint.

  • Si $a\neq 0, \; D_1>0,\, D_2>0$ et en appliquant la méthode asymptotique par rapport à $\varepsilon $ que peut-on dire de $P^0$ limite de $P^\varepsilon $?

    1. $P^0=0$
    2. $p^\varepsilon _1=0$
    3. $p^\varepsilon _2=0$.

  • Si $a=0$ qu’observe-t-on sur le contrôle $u^\varepsilon $?

    1. $\lim _{\varepsilon \rightarrow 0}\displaystyle \int _0^ T\vert u^\varepsilon \vert =0$
    2. $\lim _{\varepsilon \rightarrow 0}\displaystyle \int _0^ T\vert u^\varepsilon \vert =\infty $
    3. $\lim _{\varepsilon \rightarrow 0}\displaystyle \int _0^ T\vert u^\varepsilon \vert =1.$

  • On suppose $a>0$ et $D_2=0$. Est-ce que le système est exactement contrôlable?

    1. Oui si on a aussi $D_1\neq 0$
    2. Non jamais
    3. Oui toujours.

      =>