Questionnaire

  • On considère le système dynamique ($0<b<a)$:

      \[ \ddot z +z=(a\dot z-b\dot z^3)(1-z^2). \]    

    Donner le plus petit ensemble parmi les suivants et dans lequel pourrait exister un cycle limite:

    1. Exception: list index out of range Exception: list index out of range
    2. $D_1=[-1,1]\times [-\sqrt {\frac{a}{b}},\sqrt {\frac{a}{b}}]$
    3. $D_2=\{ \dot z^2+z^2\leq 2\} $
    4. $D_3=\{ \dot z^2+z^2\leq 4(1+a/b)\} $.

  • Si la condition initiale est $z(0)=1,\dot z(0)=0$ que se passe-t-il l’instant suivant?

    1. La trajectoire sort de $D_1$
    2. La trajectoire est tangente à $\partial D_1$
    3. La trajectoire rentre dans $D_1$.

  • En appliquant le critère de l’énergie et celui de Poincaré-Bendixson, lequel vous semble le plus précis pour localiser un cycle limite partant d’un voisinage de l’origine?

    1. Exception: list index out of range Exception: list index out of range
    2. Celui de Poincaré-Bendixon
    3. Celui de l’énergie
    4. Ils sont équivalents.

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