3.1 Loi de contrôle exacte

Loi de contrôle exacte

Nous définissons le contrôle $\delta ^0\in H^1_0(]0,T[)$ par (cours 9 et AC p.16 ):

\[ \boxed {\begin{array}{l}a_0\delta ^0-b_0\ddot\delta ^0=({\mathcal E},\dot P^1)_2-({\mathcal B}, P^1)_2,{\mathcal M}\ddot P^1+\hskip1.42263779528pt^ t{\mathcal C}\dot P^1+\hskip1.42263779528pt^ t{\mathcal K}P^1=0,\\ P^1(0)=\Phi _0,\dot P^1(0)=\Phi _1,\Phi =(\Phi _0,\Phi _1)\in {\mathbb R}^2,\end{array}} \]

où:

\[ \boxed {\forall \delta \Phi =(\delta \Phi _0,\delta \Phi _1)\in {\mathbb R}^2,\Lambda (\Phi ,\delta \Phi )=L(\delta \Phi ).} \]

et les formes bilinéaire $\Lambda $ et linéaire $L$ sont définies par:

\[ \boxed { \begin{array}{l} \Lambda (\Phi ,\delta \Phi )\hskip-2.84527559055pt=\hskip-1.42263779528pt\frac{2}{T}\hskip-2.84527559055pt\displaystyle \sum _{n\geq 1}\frac{\int _0^ T\xi (s)\sin (\frac{n\pi s}{T})\hskip-2.84527559055pt\int _0^ T\hskip-0.56905511811pt\upsilon (s)\sin (\frac{n\pi s}{T})}{a_0+b_0\frac{n^2\pi ^2}{T^2}}\\ L(\delta \Phi )=({\mathcal M}\dot X(0)-{\mathcal C} X(0),\delta \Phi _0)_2-({\mathcal M}X(0),\delta \Phi _1)_2 \end{array}} \]

avec les notations (la contrôlabilité, id $P^0=0$, est détaillée dans le pdf associé):

\[ \left\{ \begin{array}{l} {\mathcal M}\ddot Q+\hskip1.42263779528pt^ t{\mathcal C}\dot Q+\hskip1.42263779528pt^ t{\mathcal K}Q=0,Q(0)=\delta \Phi _0,\dot Q(0)=\delta \Phi _1,\\ \xi (s)=({\mathcal B}, P^1)_2(s)\hskip-2.84527559055pt-\hskip-2.84527559055pt({\mathcal E},\dot P^1)_2(s),\upsilon (s)=({\mathcal B}, Q)_2(s)\hskip-2.84527559055pt-\hskip-2.84527559055pt({\mathcal E},\dot Q)_2(s), \end{array}\right. \]

Remarque sur la contrôlabilité

Il est tentant de se limiter à un contrôle avec uniquement ${\mathcal B}\delta $ si ${\mathcal E}$ est négligeable, car plus simple. Or $-{\mathcal B}$ est une partie de la seconde colonne de ${\mathcal K}$ (la première est nulle). Notons la: ${\mathcal K2}=-{\mathcal B}-{\mathcal G}$.

La contrôlabilité en général n’est pas évidente.

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Prenons le cas où $-{\mathcal C}$ (matrice d’amortissement) est négligeable (l’eau apparente). Le critère de contrôle conduit à:

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\[ \boxed { ({\mathcal M}^{-1} {\mathcal K}^ t {\mathcal D},{\mathcal B})_2=-({\mathcal M}^{-1} \left(\begin{array}{l}({\mathcal G},{\mathcal D})\\ ~ \\ 0\end{array}\right), {\mathcal B})_2\neq 0\hbox{ où }({\mathcal D},{\mathcal B})_2=0.} \]\[ \hbox{ou encore: } ({\mathcal G},{\mathcal D})_2\neq 0\hbox{ et }(\left(\begin{array}{l}J_0\\ aM\end{array}\right),{\mathcal B})_2\neq 0. \]

Il semble donc plus sécurisant de contrôler avec ${\mathcal E}\dot\delta $, d’autant plus que le foiling se fait sur des allures allant du près au vent de travers et même au petit largue pour lesquelles ce terme est important.

Exemple numérique

Nous donnons ci-après des résultats qui utilisent des données approximatives. Sur cet écran nous utilisons un contrôle exact. Le bateau avance à la vitesse $V (10m/s$ et $20m/s)$. On applique le contrôle exact suite à une pertubation initiale.

Zoom1

Zoom2

Logiciel : matlab , python