TP1 - Partie 1 - Aides : 1. 4 - Forme matricielle

TP1 - Partie 1 - Aides : Etape 1 : forme matricielle : 1. 4 - Forme matricielle

1. 4 - Forme matricielle

Mettre la forme approchée sous forme matricielle :

$\displaystyle \sum _{j=1,n_ h}\tilde{T}_ j\displaystyle \int _0^ Lk_ c(x) \dfrac {dw_ j }{dx}(x)\, \dfrac {dv_ h}{dx}(x) \, dx\, +\, \displaystyle \int _0^ Lk_ c(x) \dfrac {d\underline{T}}{dx}(x)\, \dfrac {dv_ h}{dx}(x) \, dx\, =\, 0$

$\color{mycolor}{\triangleright }$ on note $w_ o$ (resp. $w_{n_ h+1}$ ) la fonction affine nulle en dehors de $[0,x_1[$ et $w_ o(0)=1$

(resp. nulle en dehors de $]x_{n_ h},L]$ et $w_{n_ h+1}(L)=1$ ).

on prend pour relèvement $\underline{T}=T_ ow_0(x)+T_ Lw_{n_ h+1}(x)$ .

$\color{mycolor}{\triangleright }$ pour $v_ h=w_ i$ ( $\forall i=1,n_ h$ ), on note

${\color{blue}K_{i,j}=\displaystyle \int _0^ Lk_ c \dfrac {dw_ j }{dx}\, \dfrac {dw_ i}{dx} \, dx}$

alors, la forme approchée s’écrit, $\forall i=1,n_ h$ , $\displaystyle \sum _{j=1,n_ h}K_{i,j}T_ j=-K_{i,0}T_ o-K_{i,n_ h+1}T_ L$

$\color{mycolor}{\triangleright }$ on note $F$ le vecteur tel que

$F_1=-K_{1,0}T_ o, \; F_{n_ h}=-K_{n_ h,n_ h+1}T_ L \mbox{ et } F_ i=0, \forall i=2,n_ h-1$

(car $K_{i0}=0$ pour $i\ne 1$ et $K_{i,n_ h+1}=0$ pour $i\ne n_ h$ )

$\color{mycolor}{\triangleright }$ on obtient le système matriciel $KT=F$ d’inconnue $T=(T_ i)_{i=1,n_ h}$ .

Remarque :

& pour $i=1,n_ h$ , $K_{i,j}=\displaystyle \int _{x_{i-1}}^{x_{i+1}}k_ c \dfrac {dw_ j }{dx}\, \dfrac {dw_ i}{dx} \, dx$ car $w_{i}(x)=0$ si $x\notin [x_{i-1},x_{i+1}]$

d’où la ligne $i$ de $K$ : $\begin{array}{ccccccc} \ldots & 0& \color{blue}{K_{i,i-1}}& \color{blue}{K_{i,i}}& \color{blue}{K_{i,i+1} }& 0 \ldots \end{array}$

la matrice $K$ est donc tridiagonale.

Remarque :

& si l’on veut avoir un système dont la taille dépend du nombre d’éléments, quelque soit le nombre de noeuds concernés par les CL de Dirichlet, on considère le système $KT=F$ avec le vecteur inconnu $T=(T_ i)_{i=0,n_ h+1}$ où la matrice $K=(K_{i,j})_{i,j=0,n_ h+1}$ et le vecteur $F=(F_ i)_{i=0,n_ h+1}$ sont construits sans tenir compte des CL, puis transformés de façon à imposer les CL de Dirichlet (voir l’étapes 2 et 3).

fin de l’aide sur l’étape 1