TP1 - Partie 1 - Aides : 1. 3

TP1 - Partie 1 - Aides : Etape 1 : forme matricielle : 1. 3 - Eléments finis

1. 3 - Eléments finis

Préciser les éléments finis de Lagrange ${\color{mycolor}P_1}$ en 1D pour ce problème :

$\color{mycolor}{\triangleright }$ éléments géométriques : segments $[x_ j,x_{j+1}]$ pour $j=0,n_ h$ ,

$\includegraphics[width=7cm]{./images1/seg.png}$

Remarque : si le pas est constant : $h=\frac{L}{nx-1}=x_{j+1}-x_ j,\, \forall j=0,n_ h$ .

$\color{mycolor}{\triangleright }$ degrés de liberté / élément : valeurs aux 2 extrémités ( $T_ j,\, T_{j+1}$ )

nombre de degrés de liberté = $n_ h$ (car $T(0)$ et $T(L)$ sont imposées) ;

$\color{mycolor}{\triangleright }$ ensemble $V_ h$ = $\{$ fcts continues, affines par segment, et nulles en $0$ et $L\, \}$

$\includegraphics[width=7cm,height=1.1cm]{./images1/fctvhP1.png}$

l’unisolvance assure l’unicité de $\tilde{T}_ h(x)=\displaystyle \sum _{j=1,n_ h}\tilde{T}_ jw_ j(x)$ où $\tilde{T}_ j=T(x_ j)$

$\color{mycolor}{\triangleright }$ fonctions de base : $w_ i \in V_ h$ telle que $w_ i(x_ j)=\delta _{ij}$ ( $i=1,n_ h$ ) ;

$\includegraphics[width=2.8cm,height=1cm]{./images1/wi.png}$ $\includegraphics[width=2.8cm,height=1cm]{./images1/segref.png}$

fonctions de forme sur l’élément de référence $[0,1]$ :
$p_ o(s)=s$ , $p_1(s)=1-s$ , $\frac{dp_ o}{ds}(s)=1$ et $\frac{dp_1}{ds}(s)=-1$
( $\displaystyle \int _0^1\frac{dp_ o}{ds}^2ds=\displaystyle \int _0^1\frac{dp_1}{ds}^2ds=1$ et $\displaystyle \int _0^1\frac{dp_ o}{ds}\frac{dp_1}{ds}ds=-1$ )
fonctions de base non nulles sur $[x_ i,x_{i+1}]$ : $\omega _ i$ et $\omega _{i+1}$ avec
$w_{i}(x)=\dfrac {x_{i+1}-x}{x_{i+1}-x_ i}=p_1( \dfrac {x-x_ i}{x_{i+1}-x_{i}} )$ , $w_{i+1}(x)=\dfrac {x-x_ i}{x_{i+1}-x_{i}}=p_ o(\dfrac {x-x_ i}{x_{i+1}-x_ i})$
d’où, en notant $h_ i=x_{i+1}-x_{i}$ ,
$\displaystyle \int _{x_{i}}^{x_{i+1}} \frac{dw_ i}{dx}^2dx=\displaystyle \int _{x_{i}}^{x_{i+1}} \frac{dw_{i+1}}{dx}^2dx=\frac{1}{h_{i}}=-\displaystyle \int _{x_{i}}^{x_{i+1}} \frac{dw_ i}{dx}\frac{dw_{i+1}}{dx}dx$