TP1 - Partie 2 - Aides : 1. 3

TP1 - Partie 2 - Aides : Etape 1 : forme matricielle : 1. 3 - Eléments finis

1. 3 - Eléments finis

Préciser les éléments finis de Lagrange $\color{mycolor}{P_1}$ en 1D pour ce problème et mettre la forme approchée sous forme matricielle :

${\color{mycolor}\triangleright }$ éléments géométriques : segments $[x_ j,x_{j+1}]$ pour $j=0,n_ h-1$ ,
(les mêmes que précédemment avec $n_ h+1$ points $x_ j$ ),

${\color{mycolor}\triangleright }$ degrés de liberté / élément : valeurs aux 2 extrémités ( $T_ j,\, T_{j+1}$ )

nombre de degrés de liberté = $n_ h$ (car $T(0)$ est imposée) ;

$\color{mycolor}{\triangleright }$ ${\color{mycolor}V_ h }$ = $\{$ fcts continues, affines par segment, et nulles en $0\, \}$

l’unisolvance assure l’unicité de $\tilde{T}_ h(x)=\displaystyle \sum _{j=1,n_ h}\tilde{T}_ jw_ j(x)$ où $\tilde{T}_ j=T(x_ j)$
Les notations étant les mêmes qu’à la partie 1 et le relèvement $\underline{T}=T_ ow_0(x)$ , la forme approchée s’écrit

$\forall i=1,n_ h$ , $\displaystyle \sum _{j=1,n_ h}K_{i,j}T_ j=F_ i$ (système tridiagonal)
avec

$F_1=-K_{1,0}T_ o, \; F_{n_ h}=-q_ o \mbox{ et } F_ i=0, \forall i=2,n_ h-1$

fin de l’aide sur l’étape 1