TP1 - Partie 2 - Aides : 1. 1 - Formulation variationnelle

TP1 - Partie 2 - Aides : Etape 1 : forme matricielle : 1. 1 - Formulation variationnelle

1. 1 - Formulation variationnelle

${\color{mycolor} (E_2)\quad :\qquad \left\{ \begin{array}{l}-\dfrac {d }{dx}(\, k_ c(x) \dfrac {d T(x)}{dx}\, ) =0 ,\qquad 0<x\le L \\[.3cm] T(0)=T_ o,\qquad -(k_ c\frac{dT}{dx})(L)=q_ o \end{array}\right.}$

Pour mettre ${\color{mycolor}(E_2)}$ sous forme matricielle (cf. cours 5 et 7), il faut :

Modifier la formulation variationnelle de la partie 1 pour prendre en compte la condition de flux en $\color{mycolor}{x=L}$ :

on a encore :

$-\displaystyle \int _0^ L \dfrac {d }{dx}[k_ c \dfrac {dT}{dx}]\, v \, dx=-[ k_ c \dfrac {dT}{dx}\, v ]_0^ L +\displaystyle \int _0^ Lk_ c\dfrac {dT }{d x}\, \dfrac {dv }{dx} \, dx\, =\, 0$

La condition de dirichlet est en $x=0$ mais pas en $x=L$ , donc l’espace des fonctions test est :

${\color{blue}V=\{ v\in H^1(]0,L[),\, v(0)=0\} }$

la contribution du terme de bord n’est plus nulle et la forme variationnelle devient : $(E_{v2}) : \; \forall v\in V,\quad \displaystyle \int _0^ Lk_ c \dfrac {dT }{dx}\, \dfrac {dv}{dx} \, dx\, =\, (k_ c \dfrac {dT}{dx}\, v)(L)={\color{blue}{-q_ o\, v(L)}}$