TP2 - Partie 1 - Aides : 1. 1 - Formulation variationnelle

TP2 - Partie 1 - Aides : Etape 1 : forme matricielle : 1. 1 - Formulation variationnelle

1. 1 - Formulation variationnelle

${\color{mycolor}(E_3)\quad :\qquad \left\{ \begin{array}{l}-\dfrac {d }{dx}(\, k_ c(x) \dfrac {d T(x)}{dx}\, ) =f(x) ,\qquad 0<x\le L \\[.3cm] T(0)=T_ o,\qquad -(k_ c\frac{dT}{dx})(L)=q_ o \end{array}\right.}$

Modifier ${\color{mycolor}(E_{v2})}$ du TP1 pour prendre en compte ${\color{mycolor} f}$ , $\to \; {\color{mycolor}(E_{v3})}$ :

Dans $(E_3)$ , seul le second membre change par rapport à $(E_2)$ du TP1 ( $f$ dans $L^2([0,L,])$ ) ;

l’espace $V$ est encore : ${\color{blue}V=\{ v\in H^1([0,L[),\, v(0)=0\} }$ , et $\forall v\in V$ ,

$-\displaystyle \int _0^ L \dfrac {d }{dx}[k_ c \dfrac {dT}{dx}]\, v \, dx$	$=-[ k_ c \dfrac {dT}{dx}\, v ]_0^ L +\displaystyle \int _0^ Lk_ c\dfrac {dT }{d x}\, \dfrac {dv }{dx} \, dx$
	$=\, \displaystyle \int _0^ Lf \, v \, dx$

d’où : $(E_{v3}) :\quad \forall v\in V,\quad \displaystyle \int _0^ Lk_ c \dfrac {dT }{dx}\, \dfrac {dv}{dx} \, dx\, =\, {\color{blue} \displaystyle \int _0^ Lf\, v \, dx}\, -q_ o\, v(L)$
(seule modification : le terme $\displaystyle \int _0^ Lf(x)v \, dx$ )