TP2 - Partie 1 - Aides : 2. 2

TP2 - Partie 1 - Aides : Etape 2 : F : 2. 2 - Matrice M

2. 2 - Matrice M

Construire $\color{blue}M$ :

La démarche et les notations sont similaires à la construction de $K$ du TP1.

${\color{mycolor}\triangleright }$ les fonctions de base : $w_ i \in V_ h$ telle que $w_ i(x_ j)=\delta _{ij}$ ;

${\color{mycolor}\bullet }$ fonctions de forme sur l’élément de référence $[0,1]$ :
$p_ o(s)=s$ , $p_1(s)=1-s$ , et $\displaystyle \int _0^1p_ o^2dt=\displaystyle \int _0^1p_1^2dt = \frac{1}{3}$ , $\displaystyle \int _0^1p_ o\, p_1,dt = \frac{1}{6}$

${\color{mycolor}\bullet }$ fonctions de base non nulles sur $[x_ i,x_{i+1}]$ : $w_ i$ et $w_{i+1}$ avec

$w_{i}(x)=\frac{x_{i+1}-x}{x_{i+1}-x_ i}=p_1( \frac{x-x_ i}{x_{i+1}-x_{i}} )$ , $w_{i+1}(x)=\frac{x-x_ i}{x_{i+1}-x_{i}}=p_ o(\frac{x-x_ i}{x_{i+1}-x_ i})$

d’où, en notant $h_ i=x_{i+1}-x_{i}$ ,

$\displaystyle \int _{x_{i}}^{x_{i+1}} w_ i^2 dx=\displaystyle \int _{x_{i}}^{x_{i+1}} w_{i+1}^2 dx = \frac{h_ i}{3}$ , $\displaystyle \int _{x_{i}}^{x_{i+1}} w_ iw_{i+1} dx= \frac{h_ i}{6}$ .

${\color{mycolor}\triangleright }$ contribution du segment i, ${\color{mycolor}[x_ i,x_{i+1}] }$ , à ${\color{mycolor}M=(M_{ij})}$ :

seules les fonctions $w_ i$ et $w_{i+1}$ ne sont nulles sur $[x_ i,x_{i+1}]$ :

$\Rightarrow$ 4 contributions : $\displaystyle \int _{x_{i}}^{x_{i+1}}w_ jw_ k{dx} \, dx$ pour $k,j=i,i+1$ ;

ce sont :
$m^{(i)}_{1,1}=m^{(i)}_{2,2}= \frac{h_ i}{3}$ (pour $M_{i,i}$ et $M_{i+1,i+1}$ ),
$m^{(i)}_{1,2}=m^{(i)}_{2,1}= \frac{h_ i}{6}$ (pour $M_{i,i+1}$ et $M_{i+1+1,i}$ ),

la matrice élémentaire associée à $[x_ i,x_{i+1}]$ est $m^{(i)}=\dfrac {h_{i}}{6}\left( \begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2 \end{array} \right)$ .

$\dfrac {1}{6}\left( \begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2 \end{array} \right)$ étant la matrice élémentaire de référence.

${\color{mycolor}\triangleright }$ assemblage et stockage de ${\color{mycolor}M}$ : même démarche que pour $K$ .

comme $K$ , $M$ est tridiagonale ; on adopte le même stockage.

${\color{mycolor}\triangleright }$ programmation : très proche de celle de $K$

écriture d’un sous programme devant construire $M$ pour tout

	$nx$ : nombre de points $x_ j$ du domaine, $nx=n_ h+1$ ,
	$x$ , tableau des abscisses $x_ j$ , $j=1,nx$ ,

fournis par la liste d’appel du sous-programme.

Structure :

- affectation de la matrice élémentaire de référence,

- initialisation du stockage de $M$ ,

- boucle sur les éléments $i=1$ à $nx-1$

calcul de $h_ i= (x_{i+1}-x_{i})$ ,

ajout des contributions de l’élément $i$ à $M$ ,

- fin de la boucle sur $i$

sous scilab : écrire en complétant les zones grises du fichier
Mplein1DP1.sci pour un stockage plein

$\includegraphics[width=10cm]{./prog-images/Mplein1DP1trou.png}$

Besoin d’aide pour remplir les zones grises ? pour vous aider, voir le QCM suivant :

Ouvrir/fermer le QCM.

Tester ce sous-programme à l’aide du programme principal test (à écrire dans la console de Scilab ou dans un fichier que l’on exécutera) :

exec(’Mplein1DP1.sci’,-1) ;

nx=5 ; x=linspace(0,1,nx) ;

M = Mplein1DP1(nx,x) ; M

Vous obtenez bien la matrice

$M=\left(\begin{array}{ccccc}0,083...& 0,0416...& 0& 0& 0\\ 0,0416...& 0,166...& 0,0416...& 0& 0\\ 0& 0,0416...& 0,166...& 0,0416...& 0\\ 0& 0& 0,0416...& 0,166...& 0,0416...\\ 0& 0& 0& 0,0416...& 0,083...\end{array}\right)$ ,

vous pouvez alors poursuivre,
sinon ... vérifier votre sous-programme.