TP3 - Aides : les étapes

les étapes

$\color{mycolor}(E_{4})\; :\; \rho c_ v\dfrac {\partial T}{\partial t}(x,t)-\dfrac {\partial }{\partial x}(k_ c \dfrac {\partial T}{\partial x})(x,t)=f (x),\quad 0<x<L,\; \forall t\in ]0,T_ f]$

Ecrire $(E_4)$ et les CL sous forme variationelle et approcher par MEF, (CL : $T(0,t)=0$ et $-(k_ c\dfrac {dT}{dx})(L,t) = q_ o$ ) (aide)
approcher les termes en temps par un schéma de Wilson :

$\color{myred}\left\{ \begin{array}{l}T(x,t_ n) \simeq \theta T(x,t_{n+1})+ (1-\theta )T(x,t_ n),\quad \mbox{avec } 0 \le \theta \le 1\\[1ex] \dfrac {\partial T}{\partial t}(x,t_ n) \simeq \dfrac {1}{\Delta t}(T(x,t_{n+1})-T(x,t_ n)),\quad \mbox{avec } \Delta t=t_{n+1}-t_ n \end{array} \right.$

et mettre sous forme matricielle ${\color{myred} A \, T^{n+1}=F(t_ n)}$ (aide)
modifier le sous-programme de résolution pour prendre en compte l’évolution en temps (aide)
écrire le programme principal pour $L=2$ , $x_ j=(j-1)h\frac{L}{nx-1}$ , $\; nx=21$ ,
$k_{c}=1,\; \rho c_ v=1, \; T(0)=0$ et $q_ o=1$ avec $f(x)=0$ et $T_ o(x)=\left\{ \begin{array}{ll}0& \mbox{si } 0<x<L/2\\ 6& \mbox{si } L/2 \le x <L\end{array} \right.$ .
Tracer les résultats. Faire varier $nx$ . Choisir différents $\theta$ et faire varier le pas de temps $\Delta t$ . Retrouver les propriétés du schéma. Comparer la solution finale obtenue avec la solution statique (aide).