TP4 - Aides : 1. 1 - Formulation variationnelle

TP4 - Aides : Etape 1 : forme matricielle : 1. 1 - Formulation variationnelle

1. 1 - Formulation variationnelle

Modifier la formulation variationnelle du TP3 pour prendre en compte $\color{mycolor}\dfrac {\partial ^2 u}{\partial t^2}$ et les CL, on obtient $\color{mycolor}{E_{5v}}$ :

le terme $-c^2\dfrac {\partial ^2u }{\partial x^2}$ est équivalent au terme $-\dfrac {\partial }{\partial x}(k_ c(x)\dfrac {\partial T}{\partial x})$ (avec $k_ c=c^2$ ) des TPs précécents, donc la formulation variationnelle est du même type.

Comme dans la 1ère partie du TP1, les conditions aux limites sont de Dirichlet et l’ordre des dérivées (après intégration par parties dans la forme variationnelle) est 1, donc on prend $\color{mycolor}V= H_ o^1(]0,L[)$ .

Sous réserve de régularité suffisante de $u$ par rapport au temps, on obtient la forme variationnelle :

$E_{5v}\; : \; \displaystyle \int _0^ L\dfrac {\partial ^2 u}{\partial t^2}v\, dx +c^2\displaystyle \int _0^ L\dfrac {\partial u }{\partial x}\, \dfrac {dv }{dx}dx \, =\, \displaystyle \int _0^ Lf \, v \, dx\, \quad \forall v\in V$