TP4 - Aides : 2. 1 - Formes approchée matricielle

TP4 - Aides : Etape 2 : schéma en temps : 2. 1 - Formes approchée matricielle

2. 1 - Formes approchée matricielle

Approcher les termes en temps par le $\theta$ -schéma dans $\color{mycolor}{(E_{5m})}$ :

dans l’équation

$M \dfrac {\partial ^2 U}{\partial t^2}(t_ n) +c^2KU(t_ n)\, =\, Fc$

on approche les termes en temps à l’aide de

$\color{myred} \left\{ \begin{array}{l}u(x,t_ n) \simeq \theta u(x,t_{n+1}) +(1- \theta ) u(x,t_{n-1}),\quad \mbox{avec } 0 \le \theta \le 1\\[1ex] \dfrac {\partial ^2 u}{\partial t^2}(x,t_ n) \simeq \dfrac {1}{\Delta t^2}(u(x,t_{n+1})-2u(x,t_ n)+u(x,t_{n-1})),\quad \forall n\ge 1\end{array} \right.$

on obtient la forme approchée :

$\frac{1}{\Delta t^2}M(U(t_{n+1})-2U(t_ n)+U(t_{n-1}) )+c^2K(\theta U(t_{n+1})+ (1-\theta )U(t_{n-1})) \, \simeq \, Fc.$

En * par $\Delta t^2$ et en regroupant les termes en $t_ n$ , ceux en $t_{n-1}$ puis ceux en $t_{n+1}$ , on obtient ,

$[M +\theta c^2 \Delta t^2 K] U(t_{n+1})\simeq \, \Delta t^2 Fc + 2MU(t_ n)- [M+(1-\theta )c^2\Delta t^2 K] U(t_{n-1})$