TP4 - Aides : 2. 2 - Formes matricielle récurrente

TP4 - Aides : Etape 2 : schéma en temps : 2. 2 - Formes matricielle récurrente

2. 2 - Formes matricielle récurrente

Ecrire l’équation récurrente matricielle vérifiée par $\color{mycolor}{U^{n+1}}$ :

On note $\color{blue} A\, =\, M +\theta c^2 \Delta t^2 K$ ;

on approche $U(t_{n+1})$ par $U^{n+1}$ , solution de

$A U^{n+1}=\, \Delta t^2 Fc + M(2U^ n-U^{n-1})-(1-\theta )c^2\Delta t^2 K U^{n-1}$

On note $U^0$ , le vecteur $(u_ o(x_ i))_ i$ .

Il faut encore déterminer le vecteur $U^1$ approchant $(u(x_ i,\Delta t))_ i$ ; sans autre indication, on approche linéairement : $u(x_ i,\Delta t)\simeq u_{to}(x_ i)+\Delta t \, v_{to}(x_ i)$

d’où : $U^1= U^0 + \Delta t \, V$ avec $V_ i= v_{to}(x_ i)\quad \forall i=1,nx$

On obtient donc la suite récurrente définie par :

$U^0,\; U^1, \; A U^{n+1}=\, \Delta t^2 Fc + M(2U^ n-U^{n-1})-(1-\theta )c^2\Delta t^2 K U^{n-1},\quad n>0$

fin de l’aide sur l’étape 1