Cours 6: Eléments de la théorie spectrale des opérateurs elliptiques: Le problème type

Cours 6: Eléments de la théorie spectrale des opérateurs elliptiques : La théorie spectrale des EDP : Le problème type

1.1 Le problème type

Problème aux valeurs propres

Le problème type :

Il s’agit de trouver $(u\neq 0,\lambda )\in H^1_0(\Omega )\times {\mathbb R},$ tel que:

\[ \left\{ \begin{array}{l}-\Delta u=\lambda u\hbox{ dans }\Omega ,\\ u=0\hbox{ sur }\Gamma =\partial \Omega .\end{array}\right. \]

Formulation variationnelle :

$u\neq 0 \in H^1_0(\Omega ),\lambda \in {\mathbb R}$ tel que:

$\forall v\in H^1_0(\Omega )$,

$\hskip14.2263779528pt\displaystyle \int _\Omega (\nabla u,\nabla v)=\lambda \displaystyle \int _\Omega uv.$

Remarque Normalisation :
On notera que si $u$ est solution alors $\forall \alpha \in {\mathbb R},\alpha u$ l’est aussi. On choisit de normaliser $u$ par: $\displaystyle \int _\Omega u^2=1$. On va s’intéresser à la formulation plus générale:

\[ \boxed {\begin{array}{l}\hbox{ Trouver }(u\neq 0,\lambda )\in V\times {\mathbb R}\hbox{ tel que: }\hbox{(V est un espace de Hilbert)}\\ \hskip56.905511811pt\forall v\in V,a(u,v)=\lambda m(u,v),m(u,u)=1.\end{array}} \]