Cours 6: Eléments de la théorie spectrale des opérateurs elliptiques: Le théorème spectral

Cours 6: Eléments de la théorie spectrale des opérateurs elliptiques : La théorie spectrale des EDP : Le théorème spectral

1.2 Le théorème spectral

Le théorème spectral

Soit $H$ et $V$ deux espaces de Hilbert tels que $V\subset H$ et l’injection de $V$ dans $H$ est compacte, c’est-à-dire qu’elle transforme une suite bornée de $V$ en une suite dont on peut extraire une sous-suite convergente dans $H$. Compléments../afilms/V1C6 On suppose que $m$ et $a$ vérifient:

Forme bilinéaire $m$ :

C’est une forme bilinéaire continue sur $H$ qui vérifie:

$\exists c{>}0,\forall v\in H,m(v,v)\geq c\vert \vert v\vert \vert _ H^2$

Forme bilinéaire $a$ :

C’est une forme bilinéaire continue sur $V$ qui vérifie:

$\exists \alpha {>}0,\forall v\in V,a(v,v)\geq \alpha \vert \vert v\vert \vert _ V^2$

Théorème le théorème spectral

Il existe une famille dénombrable de solutions $(\lambda _ k,w_ k)\in {\mathbb R}^{+*}\times V$ de:

\[ \forall v\in V,a(w_ k,v)=\lambda _ km(w_ k,v),m(w_ k,w_ k)=1, \]

et la famille $\{ w_ k\} $ est une base hilbertienne de $H$ (en utilisant le produit scalaire de $m$). De plus la multiplicité de chaque valeur propre $\lambda _ k$ est finie et le seul point d’accumulation possible de cette suite est l’$\infty $. On posera $0{<}\lambda _1\leq \lambda _2\leq \ldots $