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Cours 10: Contrôle non linéaire du Stall Flutter (galloping) |  |
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1.3 Optimalité du critère de contrôle
Optimalité du critère de contrôle
La condition (nécessaire mais a priori, pas suffisante) d’optimalité de $J^\varepsilon $ s’écrit:
\[ \boxed {\forall \gamma \in L^2(]0,T[),( \displaystyle \frac{\partial J^\varepsilon }{\partial \beta }(\beta ),\gamma )=0.} \]De façon a pouvoir manipuler pratiquement la dérivée $\frac{\partial J^\varepsilon }{\partial \beta }$ il est commode de trouver (théorème de Riesz) un représentant noté $G^\varepsilon $ (le gradient dans l’espace $L^2(]0,T[)$ tel que (c’est ce que nous avons fait au cours 9 mais cela était plus naturel dans le cas linéaire):
\[ \boxed {\forall \gamma \in L^2(]0,T[),( \displaystyle \frac{\partial J^\varepsilon }{\partial \beta }(\beta ),\gamma )=\displaystyle \int _0^ TG^\varepsilon (s)\gamma (s)ds.} \]On commence par dériver l’équation dont $y(\beta )$ est solution:
\[ \boxed {\ddot y_1+\xi \dot y_1+ky_1=\frac{\partial q}{\partial \dot y}(\dot y)\dot y_1+b\gamma , y_1(0)=\dot y_1(0)=0.} \]Optimalité du critère de contrôle (suite)
En multipliant scalairement (dans $L^2(]0,T[)$) par une fonction $p$ et en intégrant par parties nous obtenons:
\[ \boxed {\begin{array}{l}[\dot y_1(T)+\xi y_1(T)-\displaystyle \frac{\partial q}{\partial \dot y}(\dot y)y_1(T)]p(T)-y_1(T)\dot p(T)\\ +\displaystyle \int _0^ T[\ddot p-\xi \dot p+kp+\displaystyle \frac{\partial ^2q}{\partial \dot y^2}\ddot yp+\displaystyle \frac{\partial q}{\partial \dot y}\dot p]y_1=\int _0^ Tb\gamma p.\end{array}} \]Pour $y$ donnée, on définit $p$ solution de :
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et on déduit l’expression du gradient de $J^\varepsilon $ à l’aide de $p$ (état adjoint):
\[ \boxed {G^\varepsilon =bp+\varepsilon \beta .} \] |
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