Cours 10: Contrôle non linéaire du Stall Flutter (galloping): Le critère de contrôle

Cours 10: Contrôle non linéaire du Stall Flutter (galloping) : Le modèle non linéaire de Den Hartog : Le critère de contrôle

1.2 Le critère de contrôle

Le critère de contrôle

On souhaite atteindre le repos à l’instant $T$ ($y(T)=\dot y(T)=0$) tout en évitant dans la période intermédiaire $]0,T[$, d’avoir des amplitudes et des vitesses trop importantes. Pour cela, on va minimiser la fonctionnelle suivante par rapport à $\beta \in L^2(]0,T[)$ ($e,f,c,d,\varepsilon \geq 0$):

\[ \boxed {J^\varepsilon (\beta )=\displaystyle \frac{1}{2}\{ \displaystyle \int _0^ T[ey^2(s)+f\dot y^2(s)+\varepsilon \beta ^2(s)]ds+c\vert y(T)\vert ^2+d\vert \dot y(T)\vert ^2\} .} \]

Si on note:

\[ \boxed {y_1=\lim _{\eta \rightarrow 0}\frac{y(\beta +\eta \gamma )-y(\beta )}{\eta },} \]

la dérivée de $J^\varepsilon $ en $\beta $ dans la direction $\gamma $ sécrit formellement (on suppose dans un premier temps que les expressions ont un sens):

\[ \boxed {(\frac{\partial J^\varepsilon }{\partial \beta }(\beta ),\gamma )=\displaystyle \int _0^ T\{ eyy_1+f\dot y\dot y_1+\varepsilon \beta \gamma \} ds+cy(T)y_1(T)+d\dot y(T)\dot y_1(T).} \]

La difficulté principale vient de ce que l’équation d’état vérifiée par $y(\beta )$ est non linéaire. Il nous faut caractériser $\beta $ et le calculer.