2.1 La méthode asymptotique

La méthode asymptotique

La résolution du système des trois équations (les deux en $y,p$ et l’équation d’optimalité) peut se faire par une méthode de gradient à pas ajusté. Mais, compte tenu des non linéarités, un algorithme du type BFGS est préférable. On peut aussi utiliser l’algorithme de Newton à condition de ne pas partir trop loin de la solution.
Mais le point important est de savoir si sous certaines conditions réalistes, lorsque $\varepsilon \rightarrow 0$ le contrôle obtenu peut être exact ou non.
Pour étudier cet aspect plaçons dans le cas où $e=f=0$ et supposons que la solution reste dans un voisinage de l’origine, ce qui correspond à l’hypothèse faite dans la construction du cycle limite par la méthode des formes normales (cours 7).
Nous reprenons formellement la démarche qui était parfaitement justifıée dans le cas linéaire (cours 9). Posons donc a priori: \[ \left\vert \begin{array}{l} y=y^0+\varepsilon y^1+\ldots ,\\ p=p^0+\varepsilon p^1+\ldots ,\\ \beta =\beta ^0+\varepsilon \beta ^1+\ldots \end{array}\right. \]