Cours 11: Contrôle du Stall flutter en torsion : Le critère de contrôle

Cours 11: Contrôle du Stall flutter en torsion : Le modèle de contrôle : Le critère de contrôle

2.1 Le critère de contrôle

Le critère de contrôle

La démarche est analogue à celle suivie au cours 10. Le point nouveau, est que la non linéarité ( fonction $q$) dépend à la fois de $\alpha $ et de $\dot\alpha $.
On se donne un horizon temporel $T$ et des coefficients positifs de pondérations $(c,d,e,f,\varepsilon )$ à fixer par l’utilisateur. Le critère de contrôle est (on souhaite avoir $\alpha (T)=\alpha _{eq}$ et $\dot\alpha (T)=0$): \[ \hskip-11.3811023622pt\boxed { ~ J^\varepsilon \hskip-1.42263779528pt(\beta )\hskip-1.42263779528pt=\hskip-1.42263779528pt\displaystyle \frac{1}{2}\{ c\vert \alpha (T)\hskip-1.42263779528pt-\hskip-1.42263779528pt\alpha _{eq}\vert ^2+\hskip-1.42263779528ptd\vert \dot\alpha (T)\vert ^2\hskip-4.26791338583pt+\displaystyle \int _0^ T\hskip-4.26791338583pt[e\vert \alpha (s)\hskip-1.42263779528pt-\hskip-1.42263779528pt\alpha _{eq}\vert ^2+\hskip-1.42263779528ptf\vert \dot\alpha (s)\vert ^2+\hskip-1.42263779528pt\varepsilon \beta ^2(s)]ds\} } \] Le problème de contrôle optimal consiste à touver $\beta $ qui minimise $J^\varepsilon $.
On introduit l’état adjoint solution de :

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\[ \boxed {\hskip-1.42263779528pt\begin{array}{l}\ddot p\hskip-1.42263779528pt-\hskip-1.42263779528pt(D\hskip-1.42263779528pt-\hskip-1.42263779528pt\displaystyle \frac{\partial q}{\partial \dot\alpha })\dot p\hskip-1.42263779528pt+\hskip-1.42263779528pt(C\hskip-1.42263779528pt-\hskip-1.42263779528ptC_{aero}\hskip-1.42263779528pt+\hskip-1.42263779528pt\displaystyle \frac{\partial ^2 q}{\partial \dot\alpha \partial \alpha }\dot\alpha \hskip-1.42263779528pt+\hskip-1.42263779528pt\displaystyle \frac{\partial ^2q}{\partial \dot\alpha ^2}\ddot\alpha \hskip-1.42263779528pt-\hskip-1.42263779528pt\displaystyle \frac{\partial q}{\partial \alpha })p\hskip-1.42263779528pt=\hskip-1.42263779528pte\alpha \hskip-1.42263779528pt-\hskip-1.42263779528ptf\ddot\alpha ,\\ p(T)\hskip-1.42263779528pt=\hskip-1.42263779528ptc\dot\alpha (T),\dot p(T)\hskip-1.42263779528pt=\hskip-1.42263779528pt-d(\alpha (T)\hskip-1.42263779528pt-\hskip-1.42263779528pt\alpha _{eq})\hskip-1.42263779528pt+\hskip-1.42263779528ptD p(T)\hskip-1.42263779528pt-\hskip-1.42263779528pt\displaystyle \frac{\partial q}{\partial \dot\alpha }p(T)\hskip-1.42263779528pt-\hskip-1.42263779528ptf\dot\alpha (T). \end{array}} \]