Dérivées de $f$ autour de $\dot z=0,\alpha _ a=\alpha $

• En fait $f$ ne dépend que de $\dot z$, pas de $z$;

• $\alpha _ a\simeq \alpha -\displaystyle \frac{\dot z}{V},\frac{\partial \alpha _ a}{\partial \dot z}=-\frac{1}{V}, \vert \vert V_ a\vert \vert ^2\simeq V^2$;

• $-\displaystyle \frac{\partial f}{\partial \dot z}(0,0)\simeq D=\displaystyle \frac{\varrho S V}{2}[c_ x(\alpha )+\hskip-2.84527559055pt\displaystyle \frac{\partial c_ z}{\partial \alpha }(\alpha )]$;

• $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial z}(0,0)= 0$;

• L’équation linéarisée est:

  \[ \begin{array}{l}M\ddot z+D\dot z+Kz=f(0,0),\\ z(0)=\dot z(0)=0.\end{array} \]

Solutions pour $D{>}0$

Solutions pour $D{<}0$

Le $D(\alpha )$ de Tacoma

Le critère de Den Hartog:

Zoom $\uparrow $;

\[ \boxed { D{<}0={>}\hbox{ instable},D{>}0={>}\hbox{ stable.}} \] Remarque Il faudrait prendre en compte l’amortissement structure.

Le $c_ z$

Le $c_ x$