Cours 7: Comment construire le cycle limite: Premier changement de variables

Cours 7: Comment construire le cycle limite : La forme canonique : Premier changement de variables

1.1 Premier changement de variables

Premier changement de variables

Pour expliquer la méthode dite des formes normales, nous considérons une équation simplifiée:

\[ \boxed {\begin{array}{l} \hbox{Trouver $x(t)$ solution de:}\\ \ddot x+\omega ^2 x=f(x,\dot x),x(0)=x_0,\dot x(0)=x_2.\end{array}} \]

On pose alors au voisinage de $(0,0)$:

\[ \begin{array}{l}g(x,\dot x)=f(x,\dot x)-f(0,0)-x\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(0,0)-\dot x\displaystyle \frac{\partial f}{\partial \dot x}(0,0)\\ ={>}\vert g(x,\dot x)\vert =O(\vert x\vert ^2+\vert \dot x\vert ^2),\end{array} \]

et quite à effectuer une translation sur $x$, on peut supposer que $f(0,0)=0$. Le modèle devient donc:

\[ \boxed {\ddot x-\displaystyle \frac{\partial f}{\partial \dot x}(0,0)\dot x+(\omega ^2-\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(0,0))x=g(x,\dot x).} \]

On se place dans le cas où le système linéarisé est instable.

Modèle du premier ordre différentiel

Posons:

\[ \boxed {X=\left(\begin{array}{l}x\\ \dot x\end{array}\right), A= \left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ -(\omega ^2-\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)) & -\frac{\partial f}{\partial \dot x}(0,0) \end{array} \right),B=\left(\begin{array}{l}0\\ g(x,\dot x)\end{array}\right).} \]

Le modèle est équivalent au suivant:

\[ \boxed {\displaystyle \frac{dX}{dt}=AX+B(X),X(0)=X_0=\left(\begin{array}{l}x_0\\ x_1\end{array}\right).} \]

Les valeurs propres $\lambda $ de $A$ sont les racines de:

\[ \lambda ^2-\lambda \frac{\partial f}{\partial \dot x}(0,0)+(\omega ^2-\frac{\partial f}{\partial x}(0,0))=0. \]

Nous les supposons de la forme suivante (dans ce cours 7):

\[ \lambda =a\pm i b\hbox{ avec }a\geq 0\hbox{ et }b\neq 0. \]

L’instabilité étudiée correspond à $a{>}0$ mais $ a{<}{<}1$ typique du démarrage d’un phénomène de stall flutter.

Modèle du premier ordre différentiel

En effectuant le changement de variables:

\[ X=\left(\begin{array}{l}\begin{array}{cc}1& 1\end{array}\\ \begin{array}{cc}\lambda & \overline\lambda \end{array}\end{array}\right)Y=DY, \]

on obtient le modèle ci-après où $G(Y)=g(x,\dot x)$:

\[ \boxed {\dot Y=\left(\begin{array}{l}\begin{array}{cc}\lambda & 0\end{array}\\ \begin{array}{cc}0& \overline\lambda \end{array}\end{array}\right)Y+\displaystyle \frac{i}{2b}\left(\begin{array}{l}G(Y)\\ -G(Y)\end{array}\right).} \]

On notera que la seconde relation de ce système matricielle est la omplexe conjuguée de la première car $G(Y)\in {\mathbb R}$. Nous-nous intéresserons donc à la première uniquement ($G_2(y_1,\overline y_1)=G(Y)$ et $\vert G_2(y_1,\overline y_1)\vert =O(\vert y_1\vert ^2+\vert \overline y_1\vert ^2)$):

\[ \boxed {\dot y_1=\lambda y_1+\frac{i}{2b}G_2(y_1,\overline y_1)} \]