Cours 7: Comment construire le cycle limite: Second changement de variables

Cours 7: Comment construire le cycle limite : La forme canonique : Second changement de variables

1.2 Second changement de variables

Second changement de variables

Obervons maintenant que l’on peut écrire:

\[ \boxed {\begin{array}{l}G_2(y_1,\overline y_1)=d_{11}y_1^2+d_{12}y_1\overline y_1+d_{22}\overline{y_1}^2+G_3(y_1,\overline y_1),\\ \hbox{ avec: }\vert G_3(y_1,\overline y_1)\vert =O(\vert y_1\vert ^3+\vert \overline y_1\vert ^2).\end{array}} \]

Effectuons le changement de variable dans un voisinage de l’origine du plan complexe:

\[ y_1=z+p(z,\overline z)\hbox{ où } p\in {\cal P}_2=\{ \alpha z^2+\beta z\overline z+\gamma {\overline{z}}^2 \} . \]

De :

\[ \dot y_1=(1+\frac{\partial p}{\partial z})\dot z+\frac{\partial p}{\partial \overline z}\dot{\overline{z}}, \]

\[ \dot{\overline{y_1}}=\overline\lambda \overline y_1+ O(\vert y_1\vert ^2), \]

nous déduisons par un simple calcul que:

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\[ \boxed {\begin{array}{l}\dot z=\lambda z+\lambda p-\lambda \frac{\partial p}{\partial z}z-\overline\lambda \frac{\partial p}{\partial \overline z}\overline z+d_{11}z^2+d_{12}z\overline z+d_{22}\overline{z}^2+H_3(z,\overline z)\\ \hbox{avec }H_3(z,\overline z)=O(\vert z\vert ^3)\end{array}} \]

Le défi est de trouver $p$ pour éliminer les termes du second ordre.

Elimination des termes d’ordre 2

En remarquant que:

\[ \boxed {{\cal L}(p)=\lambda p-\lambda \frac{\partial P}{\partial z}z-\overline{\lambda }\frac{\partial p}{\partial \overline z}\overline z} \]

est une application linéaire de ${\cal P}_2$ dans lui-même. Ecrivons sa matrice $L$ dans la base $\{ z^2,z\overline{z},{\overline{z}}^2\} $:

\[ L=\left(\begin{array}{l}\begin{array}{ccc}-\lambda & 0& 0\end{array}\\ \begin{array}{ccc}0& -\overline\lambda & 0\end{array}\\ \begin{array}{ccc}0& 0& \lambda -2\overline\lambda \end{array}\end{array} \right)=\left(\begin{array}{l}\begin{array}{ccc}-a-ib& 0& 0\end{array}\\ \begin{array}{ccc}0& -a+ib& 0\end{array}\\ \begin{array}{ccc}0& 0& -a+2i b\end{array}\end{array} \right). \]

Elle est donc inversible sur un voisinage de l’origine si aucun terme diagonal n’est nul, (ou petit pour rester dans un voisinage de l’origine). Ce qui est le cas car $b\neq 0$. On peut donc éliminer tous les termes d’ordre 2 par ce changement de variables non linéaire.