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Cours 7: Comment construire le cycle limite |  |
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1.3 Troisième changement de variables
Elimination des termes d’ordre 3?
Nous reprenons la démarche précédente mais cette fois en espérant trouver un changement de variables qui élimine les termes d’ordre 3. On pose donc:
\[ z=\xi +q(\xi ,\overline\xi )\hbox{ où }q\in {\cal P}_3. \]Le même opérateur ${\cal L}$ intervient mais cette fois, de ${\cal P}_3$ dans lui même. Sa matrice dans la base $\{ \xi ^3,\xi ^2\overline{\xi },\xi {\overline{\xi }}^2,{\overline{\xi }}^3\} $ est:
\[ L= \left( \begin{array}{cccc} -2(a - ib) & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -2a & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -2(a-ib) & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -2a+4ib \end{array} \right). \]Et l’on voit que le terme $\xi ^2\overline\xi $, qui est un vecteur propre de ${\cal L}$ est quasiment dans le noyau car $a$ est petit. Les autres termes d’ordre 3 pourront être annulés par le changement de variables, mais pas celui-ci car on doit rester dans un voisinage de l’origine.
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Cours 7: Comment construire le cycle limite | |
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