Cours 7: Comment construire le cycle limite: Expression du terme résonant

Cours 7: Comment construire le cycle limite : Etude du terme résonant : Expression du terme résonant

2.1 Expression du terme résonant

Expression du terme résonant

L’équation initiale, après les trois changements de variables précédents, prend la forme (attention on est sur ${\mathbb C}$!):

\[ \boxed {\dot\xi =\lambda \xi +h\xi ^2\overline\xi +O_4(\vert \xi \vert ^4).} \]

En posant $\xi =re^{i\varphi }$ et $h=h_ r+ih_ i$:

\[ \boxed {\dot r=ar+h_ r r^3\hbox{ et }\dot\varphi =b+h_ ir^2.} \]

Un calcul permet de résoudre ces équations en négligeant les termes d’ordre 4:

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\[ \hskip-8.53582677165pt\boxed { \begin{array}{l} \hbox{$\bullet $ Si }h_ r{<}0: \hskip-1.42263779528pt\left\{ \begin{array}{l}\lim _{t\rightarrow \infty }\hskip-1.42263779528pt=\hskip-1.42263779528ptr_{lim}\hskip-1.42263779528pt=\hskip-1.42263779528pt\sqrt {\frac{a}{-h_ r}}\\ \lim _{t\rightarrow \infty }\dot\varphi \hskip-1.42263779528pt=\hskip-1.42263779528ptb+h_ ir_{lim}^2\end{array}\right.\hbox{ $\bullet $ si }h_ r\geq 0\hskip-1.42263779528pt:\begin{array}{l} \lim _{t\rightarrow \infty }r(t)\hskip-1.42263779528pt=\hskip-1.42263779528pt\infty ,\end{array}\\ r(t)=\frac{ar_0 e^{at/2}}{\sqrt {a+h_ rr_0^2(1-e^{at})}},\varphi =\varphi _0+bt-\displaystyle \frac{ah_ i}{h_ r}\hbox{Log}(1+\displaystyle \frac{h_ r r_0^2}{a}(1-e^{at})). \end{array}} \]

$\dot\varphi _{lim}$ est la vitesse de phase du cycle limite et $r_{lim}$ son rayon.

Signature du terme résonant

Remarque Comment utiliser le résultat précédent :
Si il y a cycle limite ($h_ r{<}0$) il est obtenu de façon asymptotique en temps, sauf si la condition initiale se trouve sur ce cycle. On montre alors que la solution du modèle non linéaire converge vers ce cycle limite à condition que la condition initiale soit dans un voisinage.
Dans le cas contraire ($h_ r{>}0$) il faut continuer la méthode de changements de variables jusqu’à trouver un nouveau terme dit résonant qui puisse stabiliser l’équation.
Remarque Procédé de calcul :
La complexité calculatoire des changements de variables suggère d’utiliser un logiciel de calcul formel, ce que nous préciserons plus loin dans ce cours. Notons que sur le cas traité il n’y a pas de termes résonant à l’ordre quatre, mais seulement à l’ordre cinq.